5.1线性规划同步教学课件-2022-2023学年高二下学期中职数学(同济大学出版社）职业模块 财经、商贸及服务类

05 单元 线性规划初步 第 引例 某工厂需要生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要A原料和B原料.已知每一件甲产品需要A原料10 kg和B原料15 kg，每一件乙产品需要A原料12 kg和B原料 8 kg.现在该工厂共有A原料300 kg和B原料250 kg，见表5-1.甲产品每件获利200元，乙产品每件获利150元，问该工厂生产甲、乙产品各多少件时才能保证利润最大？ 表5-1生产甲、乙两种产品所需原料表 单位：kg 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 线性规划是运筹学中研究最早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，而提高经济效益一般通过两种途径：一是技术方面的改进，如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料等；二是生产组织与计划的改进，即合理分配人力、物力、财力等资源. 分析 设该工厂生产甲产品x件，乙产品y件，可获利润为Z元，则 Z=200x+150y.（1） 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 由于生产一件甲产品需要A原料10 kg，生产一件乙产品需要A原料12 kg，而该工厂共有A原料300 kg，这是一个限制产量的条件，因此在确定甲、乙产品的产量时，必须考虑A原料的用量不能超过该工厂的总量，即可用不等式表示为 10x+12y≤300.（2） 同理，由于生产一件甲产品需要B原料15 kg，生产一件乙产品需要B原料8 kg，而该工厂共有B原料250 kg，可以用不等式表示为 15x+8y≤250.（3） 又由于产品的产量x,y不可能为负数，且都是产品的件数，所以 x≥0,y≥0，且x,y都为整数.（4） 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 因此，问题变为怎样选择x,y，在满足上述一系列限制条件下，使得利润Z取得最大值，即满足 （5） 的x,y，使得利润Z=200x+150y取得最大值.这个最大值通常记为 max Z=200x+150y. 引例中，甲、乙产品的生产量x,y称为决策变量.式（5）中的几个不等式称为约束条件.由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件.Z关于x,y的函数式（1）称为目标函数.一般地，制约变量取值的关于x,y的二元一次不等式组称为线性约束条件. 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 函数式（1）就是引例1中的目标函数，不等式组（5）就是引例1的线性约束条件，则引例1就是求目标函数Z=200x+150y在线性约束条件（5）下的最大值问题. 满足线性约束条件（5）的变量x,y的值有许多组.例如， 和 就是两组解. 通过上面的分析，引例1就转化为求一组变量x,y的值，使x,y满足线性约束条件 并且使得Z=200x+150y取得最大值. 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 例1 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A,B两种规格，每张钢板可同时截得两种规格的小钢板的块数见表5-2. 某顾客需要A,B两种规格的成品分别为10,9块，问各截这两种钢板多少张才能既满足顾客的要求又使得造价最低. 表5-2某工厂截成A，B两种规格所需钢板用料表 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 分析设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，造价为Z，则 Z=400x+500y. 因为某顾客需要A规格的成品为10块，这是一个限制条件，所以在确定两种钢板的用量时，要考虑满足顾客的要求，即可用不等式表示为 2x+2y≥10. 同理，对于B规格可以得到以下的不等式 x+3y≥9. 于是，线性约束条件为 5.1线 性 规 划 5.1.1线性规划的有关概念 把从开始节点到终止节点的一条路称为一条路径，一条路径上的各工作的工期的和称为路径长度，长度最长的那条路径称为关键路径.显然，关键路径上