5.2二元线性规划问题的解法(课件)-中职《数学（职业模块 财经、商贸及服务类）》同步教学（同济大学出版社）

5.2二元线性规划问题的解法 建立了线性规划问题的数学模型后，下一步如何求出变量的值，使它们既满足线性约束条件，又能使目标函数达到最大值或最小值，即如何找出线性规划问题的最优解呢？ 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 1.二元一次不等式（组）表示多平面区域 一般地，把含有两个未知数且未知数的次数都是一次的不等式称为二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值称为它的解. 由平面解析几何知识可以知道Ax+By+C=0（A,B不同时为0）在平面直角坐标系中表示一条直线，这条直线将一个平面划分为两个半平面.列如直线y=x把坐标平面上的点分成以下三部分，如图5-1所示. 现考察Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0的几何意义. 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 图5-1 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 例1 在平面直角坐标系中，指出2x－3y－6≥0所表示的区域. 解 将2x－3y－6=0整理，得y=x－2，它在平面直角坐标系中表示斜率为，截距为－2的直线.当该直线上的点的横坐标取x时，纵坐标取x－2. 于是2x－3y－6≥0整理得y≤ x－2，可以看成横坐标取x，纵坐标取小于等于x－2的点的全体.在平面直角坐标系中，表示直线y= x－2下方（包括直线）的阴影区域，如图5-2所示，即2x－3y－6≥0表示直线 2x－3y－6=0下方（包括直线）的阴影区域. 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 图5-2 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 例2 在平面直角坐标系中，指出2x－y+4≤0所表示的区域. 解 将2x－y+4=0整理，得y=2x+4，它在平面直角坐标系中表示斜率为2，截距为4的直线.当该直线上的点的横坐标取x时，纵坐标取2x+4. 于是2x－y+4≤0整理得y≥2x+4，可以看成横坐标取x，纵坐标取大于等于2x+4的点的全体.在平面直角坐标系中，表示直线y=2x+4上方（包括直线）的阴影区域，如图5-3所示，即2x－y+4≤0表示直线2x－y+4=0上方（包括直线）的阴影区域. 图5-3 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 由例1和例2可以看出Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0的几何意义： （1） 当B≠0时，不等式可以化为y≥kx+b或y≤kx+b.y≥kx+b表示平面直角坐标系内，在直线y=kx+b上方（包括直线）的半平面区域；y≤kx+b表示直角坐标系内，在直线y=kx+b下方（包括直线）的半平面区域. （2） 当B=0时，不等式可化为x≥m或x≤m，它们分别表示在平面直角坐标系内，在直线x=m右方（包括直线x=m）或在直线x=m左方（包括直线x=m）的平面区域. 对于由二元一次不等式组所表示的平面区域就是各个不等式所表示平面区域的公共部分. 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 例3 指出决策变量分别为x,y的约束条件 在平面直角坐标系中所表示的平面区域. 解 约束条件在平面直角坐标系中所表示的平面区域是直线x+2y－900=0，2x+y－600=0以及两条坐标轴x轴和y轴所围成的阴影部分（包括直线），如图5-4所示. 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 图5-4 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 2.图解法 对于只含有两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。下面用例子来介绍图解法的求解. 例4 求解下面的线性规划问题，约束条件为 求目标函数的最大值max Z=3x+2y. 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 解 在平面直角坐标系中，分别作出约束条件中各不等式对应的平面区域，满足线性约束条件的点集是由四个半平面区域的公共部分组成，如图5-5中的阴影部分所示. 图5-5中阴影区域（包括边界）上任何一点的坐标都能同时满足四个不等式；反之，阴影区域外的任何一点，其坐标都不能同时满足这四个不等式.因此，阴影区域（包括边界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题的可行解，所有可行解的全体就构成了这一线性规划问题的可行域. 图5-5 5.2二元线性规划问题的解法 5.2.1图解法 下面在可行域中找一个使目标函数Z=3x+2y取得最大值的最优解. 观察目标函数Z的取值.不妨令Z=0，则得到一条直线3x+2y=0，这条直线上任何一点都能使得目标函数Z取同一个常数值（此时Z=0）.对于每一个固定的Z值，使目标函数值等于Z的点构成的直线称为目标函数的等值线.当Z变动时，得到一组直线，这些直线构成了一组互相平行的直线族.让