5.4线性规划问题的应用举例(课件)-中职《数学（职业模块 财经、商贸及服务类）》同步教学（同济大学出版社）

5.4线性规划问题的应用举例 线性规划的理论和方法主要应用在两类问题中，第一类是在人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；另一类是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力和财力等资源来完成该项任务. 应用线性规划解决经济、管理领域等实际问题，最重要的一步是建立实际问题的线性规划模型.这是一项技巧性很强的工作，既要求对研究的问题有深入的了解，又要求掌握线性规划模型的结构特点，并具有对实际问题进行数学描述的较强能力. 但由于实际问题是复杂的、千变万化的，因此，下面仅列举一些经过简化的不同类型的问题. 5.4线性规划问题的应用举例 例1（投资问题）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的利润，而且还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资A，B两个项目.根据预测，A，B两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对A，B两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求解. 5.4线性规划问题的应用举例 解 设投资人投资A项目x万元，投资B项目y万元，可能盈利为Z万元，则约束条件为 求目标函数的最大值max Z=x+0.5y. 画出可行域，如图5-17所示.作出目标函数Z=x+0.5y的0等值线，即x+0.5y=0.将0等值线向可行域平行移动至点A处，这时目标函数取得最大值. 5.4线性规划问题的应用举例 图5-17 解方程组 得点A的坐标为（4,6），则当x=4,y=6时，目标函数Z=x+0.5y取得最大值Zmax=4+0.5×6=7. 所以问题的最优解为分别投资A，B两个项目为4万元和6万元，其可能盈利的最大值为7万元. 5.4线性规划问题的应用举例 ? 例2 (生产计划问题)某厂计划生产甲、乙两种产品，要消耗B,B1,B2三种资源，已知每件产品对这三种资源的消耗，这三种资源的现有数和每件产品可获得的利润如表5-16所示，问如何安排生产计划，使既能充分利用现有资源，又使总利润最大？ 5.4线性规划问题的应用举例 表5-16资源约束和限制表 5.4线性规划问题的应用举例 解 设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,总利润为Z,则约束条件为 求目标函数的最大值max Z=10x+18y. 求解得到x=,y=,目标函数的最大值max Z=10× +18× = . 5.4线性规划问题的应用举例 例3 (人力资源配置问题)某大都市有昼夜服务的公交线路，经长时间统计观察，每天各时段所需要的司乘人员数见表5-17。设司乘人员分别在每时段准时上班，并连续工作8 h，问公交公司应如何安排这条公交线路的司乘人员，才能既满足工作需要，又使配备的司乘人员最少？ 举个例子 5.4线性规划问题的应用举例 表5-17司乘人员需求信息 5.4线性规划问题的应用举例 解 设用xi表示第i班开始上班的司乘人员数，由于每班实际上班的人数中必包括前一班的人数，于是可建立如下线性规划模型： min Z=+ + + + + s.t. 求解得到=50; =20; =50; =0; =20; =10;Z=150. 5.4线性规划问题的应用举例 例4（合理配料问题）某食品公司考虑用西红柿、菠菜、梨、洋葱、马铃薯、黄豆、小萝卜、胡萝卜等食品来配餐，要求配制后的食品满足一定的维生素含量（这里只考虑，三种维生素）。配餐中的各种食品的维生素含量及单位成本等数据如表5-18所示，公司管理层希望以最小的成本配制满足维生素需要量的食品. 5.4线性规划问题的应用举例 表5-18维生素的含量及单位成本表 5.4线性规划问题的应用举例 解 分别用xj分别代表各种营养物在配餐食品中的数量，于是建立如下线性规划模型： min Z=7 +5 +4 +5 +5 +6 +8 +5 ， s.t. 求解得到的结果为X*=(0,5,0.7143,6.4286,0,0,0,0); Z=60. 5.4线性规划问题的应用举例 例5 (套裁下料问题)现要做100套刚架，每套长2.9 m、2.1 m和1.5 m的圆钢各一根，已知原料长7.4 m，问应如何下料，使所用的原材料最省. 5.4线性规划问题的应用举例 解 简单的下料方法是：每根圆钢截取2.9 m、2.1 m和1.5 m的长度各一根，组成一套，这样每根圆钢剩下料头0.9 m.完成任