专题07 二次根式重难点题型专训（十一大题型）-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题07 二次根式重难点题型专训（十一大题型） 【题型目录】 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 二次根式的化简求值 题型五 最简二次根式 题型六 同类二次根式 题型七 复合二次根式的化简 题型八 分母有理化问题 题型九 二次根式的混合计算 题型十 比较二次根式的大小 题型十一 二次根式的应用 【知识梳理】 1.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 2.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 4.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 5.二次根式的运算： （1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： （2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. （3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 二次根式的加减步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 6.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用． ①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 7.二次根式的应用： 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（2023·广东茂名·校考一模）估计的值应该在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式训练】 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 2．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知，均为实数，，则的值为 ． 3．（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期中）观察如下按规律排列的数表： 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 第2行 第3行 第4行 … … … … … 根据该数表所反映的规律解答问题． (1)第5行第1列的数是______（写出最后的结果）； 第n行最右边一个数是______（用含n的代数式表示）； (2)实数是否在这个数表中？请说明理由． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2020春·西藏拉萨·八年级校考期中）已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 3．（2022秋·全国·八年级专题练习）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）已知x是实数，且，则的值是（    ） A． B．