4.3数乘向量课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第四章 向量 向量的概念和向量的几何表示 4.1 向量的加法与减法 4.2 数乘向量 4.3 平面向量的坐标表示 4.4 平面向量的内积及其应用 4.5 4.3 数乘向量 观察 旅客小李、小张分别拉一个带小轮的行李箱，小李所用的力记作，小张所用的力的大小是小李的倍，力的方向与小李的相同，那么很 自然地把小张所用的力表示成. 数乘向量 4.3 • 抽象 从上述实际例子引出数乘向量的运算． 实数与向量的乘积是一个向量，它的长度为 数乘向量 4.3 如果，当时，与的方向相同；当时，与 的方向相反． 由（1）式得 （1） （2） • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 己知向量，分别作出有向线段表示． 如图4.3-1所示： 例 解 可以证明，数乘向量满足下列4条运算法则：对任意向量，以及任意实数，有 数乘向量 4.3 从数乘向量的定义还可以推出： （5）式可以运用向量的运算法则给予证明．今后我们可以在向量运算中直接使用去括号、合并同类项、移项等法则，不必写出详细的推导过程． 数乘向量 4.3 向量的加法与数乘满足的运算法则，在形式上很像实数加法与乘法满足的运算法则，当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的．但是由于它们的运算法则在形式上相像，因此我们猜想实数运算中的去括号、合并同类项、移项等法则，在形式上可以搬到向量的运算中来．例如，去括号法则： （3） （4） （5） 2 化简下列各式 ： （1） （2） 例 解 （1） （2） 数乘向量 4.3 3 如图4.3-2，平行四边形的两条对角线交于点，用向量表示向量. 例 解 因为是，的中点，所以 数乘向量 4.3 数乘向量 4.3 评注 例3中，都称为向量,的线性组合. ，我们称可以由 线性表出． 一般地，称为的一个线性组合，其中称为系数．如果，则称可以由线性表出． 向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量的线性运算． 想一想 设，则向量的长度是多少？ 数乘向量 4.3 根据数乘向量的定义，得 这表明一个非零向量等于它的长度乘以与它同向的单位向量． 因此的长度为1，从而是单位向量，它的方向与相同显然有 探索 设，对于任意实数，向量与有什么关系？ 从数乘向量的定义知道，当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量．总而言之，与共线． 反过来，如果向量与非零向量共线，那么是否存在一个实数，使得？我们分情形来讨论． 情形1 . 此时. 情形2 ，且与方向相同．此时是与同向的单位向量，于是 数乘向量 4.3 • • • • 情形3 ，且与方向相反．此时是与同向的单位向量，于是 综上所述，如果向量与一个非零向量共线，那么存在一个实数，使得： 我们还可以进一步证明：如果与非零向量共线，那么存在唯一的一个实数，使得 通过上面的探索，我们得到了下述重要结论： 向量与一个非零向量共线的充要条件是：存在唯一的实数，使得 数乘向量 4.3 • • • • • • • • • • 如图4.3-3，分别是三角形的边上的点，并且证明： 分析 为了证，只要证与共线． 解 因为 因此与共线，从而. 数乘向量 4.3 4 例 $$