4.4平面向量的坐标表示课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第四章 向量 向量的概念和向量的几何表示 4.1 向量的加法与减法 4.2 数乘向量 4.3 平面向量的坐标表示 4.4 平面向量的内积及其应用 4.5 4.4 平面向量的坐标表示 一、平面向量分解定理 取定一个平面，用这个平面上的有向线段表示的向量称为平面向量．为了引进平面向量的坐标，首先要研究平面向量组成的集合的结构． 平面向量的坐标表示 4.4 用有向线段表示向量，具有直观性强的优点，但是用有向线段进行加法、减法和数乘运算比较麻烦．本节要引进向量的坐标，利用向量的坐标进行向量运算要简便得多． 探索 设是平面上不共线的两个向量（于是都不是零向量），在平面上任取一个向量，如图4.4-1所示，的起点都为，终点分别是.过点作直线与平行，它与直线交于点；再过点作直线与平行，它与直线交于点.于是四边形为平行四边形，从而有 （1） 平面向量的坐标表示 4.4 当向量与共线，或与共线时，（2）式仍然成立（例如，当与共线时，有). 我们还可以证明：向量表示成，的线性组合的方式唯一（详见本节后面的“阅读材料”）． 平面向量的坐标表示 4.4 由于与共线，因此存在一个实数，使得；由于与共线，因此存在一个实数，使得.将它们代入（1）式，得 即 （2） 综上所述，我们得到了下面的重要定理： 平面向量分解定理 平面上取定不共线的两个向量，，则平面上任意一个向量可以唯一地表示成，的线性组合： 此时称，是平面的一组基，把（3）式中系数组成的有序实数对叫作向量在基下的坐标． 平面向量的坐标表示 4.4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • （3） 1 如图4.4-2，平行四边形的边和的中点分别是.取为平面的一组基，分别求向量在基下的坐标． 例 解 因此，在基下的坐标分别为 平面向量的坐标表示 4.4 观察 在平面上取一个直角坐标系，在轴、轴上分别取单位向量和，且的方向为工轴的正方向，的方向为轴的正方向，它们的长度为轴、轴的单位长度，如图4.4-3所示，于是直角坐标系也可以记成，由于不共线，因此是平面的一组基． 平面向量的坐标表示 4.4 二、平面向量的直角坐标·用坐标作向量的运算 根据平面向量分解定理，平面上任意一个向量可以唯一地表示成：，我们把有序实数对称为的直角坐标，简称为的坐标，记作，其中称为横坐标，称为纵坐标． 容易看出，平面上取定一个直角坐标系后，两个向量相等当且仅当它们的坐标相等（即这两个向量的横坐标相等，纵坐标也相等）． 平面向量的坐标表示 4.4 探索 如何利用向量的坐标来作向量的加法、减法与数乘运算？ 平面向量的坐标表示 4.4 首先，要在有序实数对组成的集合中，规定加法、减法以及数乘运算如下： 平面向量的坐标表示 4.4 现在，我们来研究如何利用向量的坐标作向量的运算．设平面向量在直角坐标系中的坐标分别为，则 因此的直角坐标分别为 平面向量的坐标表示 4.4 再利用有序实数对的加法、减法以及数乘运算，便得出： 两个向量的和（差）的坐标等于它们的坐标的和（差）； 实数与向量的乘积的坐标等于乘以的坐标． 向量的坐标求出后，这个向量就确定了．因此上述结论使我们可以利用向量的坐标作向量的运算． 设的直角坐标分别为，且，则 与平行或重合 与共线 存在唯一的实数使得 存在唯一的实数使得. 利用这个结论可以用向量的坐标判定两个向量是否平行． 也可以用来判 断两个向量平行. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 设，求，，的坐标. 例 的坐标为 解 的坐标为 的坐标为 平面向量的坐标表示 4.4 3 设，，求的坐标. 例 的坐标为 解 平面向量的坐标表示 4.4 观察 平面上取定一个直角坐标系， 如图4.4-4，向量的坐标与点的坐标有什么关系？ 平面向量的坐标表示 4.4 三、平面向量的坐标与点的坐标的关系 向量的起点在原点．起点在原点的向量叫作定位向量，每个定位向量被它的终点决定． 探索 平面向量的坐标表示 4.4 设点的坐标为，从点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为， 则轴上点表示的实数是轴上点表示的实数是，从而 于是向量的坐标为，由此得出： 定位向量的坐标等于它的终点坐标. 因此 （4） （5） • • • • • • • • • • • • • 平面向量的坐标表示 4.4 评注 如图4.4-4，从点作轴的垂线