4.5平面向量的内积及其应用课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第四章 向量 向量的概念和向量的几何表示 4.1 向量的加法与减法 4.2 数乘向量 4.3 平面向量的坐标表示 4.4 平面向量的内积及其应用 4.5 4.5 平面向量的内积及其应用 观察 如图4.5-1所示，一辆小车在拉力的作用下产生了位移.拉力的方向与水平线的夹角为,的大小为.小车水平向右移动了.试问：拉力所做的功是多少？ 平面向量的内积及其应用 4.5 一、向量内积的定义和基本性质 从物理学知道，拉力所做的功等于力在小车移动方向的分量与小车移动的距离的乘积： 平面向量的内积及其应用 4.5 从上式看到，力做的功等于力的大小 、位移的大小以及力与位移的夹角的余弦的乘积．由此受到启发，抽象出向量的内积概念． 抽象 设是两个非零向量，分别作有向线段,表示，我们把射线与射线组成的不大于的那个角叫作与的夹角，记作，如图4.5-2所示． 于是 且 由于零向量的方向不确定，因此与每一个向量的夹角可以是任意一个角，我们用符号表示． 平面向量的内积及其应用 4.5 定义 任给两个向量实数 平面向量的内积及其应用 4.5 称为向量与的内积（或数量积），记作读作“点乘”，即 由定义得出，对于任意向量，有 （1） 1 己知， 求. 例 解 平面向量的内积及其应用 4.5 评注 向量的内积定义中，包含了向量的长度、两个向量的夹角这些度量概念，因此我们可以利用向量的内积来计算向量的长度、两个非零向量的夹角，即从（1）式可以得出，对任意向量，有 （2） 平面向量的内积及其应用 4.5 对于，有 两个非零向量垂直当且仅当，因此从（1）式得出 （3） （4） 由于可以是任意一个角，当然也可以是，因此可以认为与任意向量垂直．所以当中有零向量时，（4）式也成立． （2）、（3）、（4）式表明，利用向量的内积可以计算向量的长度、两个非零向量的夹角，以及判断两个向量是否垂直．因此，向量的内积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题时发挥着重要作用． • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 已知求. 例 解 因此 平面向量的内积及其应用 4.5 为了便于计算向量的内积，我们先来研究向量的内积的性质． 向量的内积有下述4条基本性质： 对任意向量，任意实数，有 （对称性）； （线性性之一）； （线性性之二）； ，等号成立当且仅当（正定性）； 向量内积的对称性从定义立即得出． 正定性的证明如下： 若，则； 若，则，从而. 关于向量的内积的线性性的证明，详见本节后面的“阅读材料”． 平面向量的内积及其应用 4.5 • • • • • • 3 已知求. 例 解 由此得出 平面向量的内积及其应用 4.5 4 证明：与垂直． 例 证明 因此与垂直. 平面向量的内积及其应用 4.5 探索 如何利用向量的直角坐标计算向量的内积？ 平面向量的坐标表示 4.4 平面上取一个直角坐标系，设向量的坐标分别是.由于因此 二、用直角坐标计算向量的内积·向量的内积的应用 （5）式是用平面向量的直角坐标计算内积的公式：两个向量的内积等于它们的横坐标的乘积与纵坐标的乘积之和． 平面向量的内积及其应用 4.5 （5） 即 • • • • • • • • • • • • • • • • 5 设的直角坐标分别是，求. 例 平面向量的内积及其应用 4.5 解 评注 利用向量的直角坐标计算它们的内积是非常简便的，从而可以利用向量的内积很容易地解决长度、距离、角度、垂直等度量问题． 设向量的直角坐标为，则 （6） 平面向量的内积及其应用 4.5 （8） 我们曾经在《数学·基础模块下册》的第6章6.1节中推导过两点间距离公式，现在用向量的内积来推导这一公式变得十分简单． 设的直角坐标分别为，则 （7） 在平面直角坐标系中，设两点的坐标分别为，则向量的坐标为，从而两点的距离为 这使我们可以用向量的直角坐标很容易判断出两个向量是否垂直． 设两个非零向量的直角坐标分别是，则 平面向量的内积及其应用 4.5 （9） 6 已知两点的直角坐标分别是，求. 例 解 平面向量的内积及其应用 4.5 7 例 证明 已知的顶点的直角坐标分别是，证明：是等腰三角形． 因此从而是等腰三角形． 8 在平面直角坐标系中，判断下述每一对向量是否垂直： （1） （2） 例 解 平面向量的内积及其应用 4.5 （1） 因此与不垂直； （2） 因此与垂直.