5.1椭圆课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第五章 圆锥曲线 椭圆 5.1 双曲线 5.2 抛物线 5.3 5.1 椭圆 观察 油罐车的油罐横截面轮廓是椭圆．太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨道上运行，如图5.1-1所示． 椭圆 5.1 一、椭圆的标准方程 圆压扁后成为椭圆，如图5.1-2所示 如何统一地研究实际生活中出现的各种各样的椭圆？ 取一条细绳，把它的两端固定在画图板上的和两点，且使绳长大于和的距离，如图5.1-3所示．用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，画出的图形是一个椭圆．由此看出，这个椭圆是由与点和的距离之和等于绳长的点组成的． 椭圆 5.1 抽象 从上述例子受到启发，我们给出椭圆的定义如下： 平面内与两个定点的距离之和是常数的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为焦距. 椭圆 5.1 为了研究椭圆的性质，我们要在平面上建立一个适当的直角坐标系，求出椭圆的方程． 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图5.1-4所示，这个坐标系称为椭圆的一个标准坐标系．参看图5.1-3画出的椭圆． 设椭圆的焦距为，椭圆上的点与两定点的距离之和为，则的坐标分别为.为了使计算简单一些，我们以为例来求椭圆的方程． 点在上述椭圆上 椭圆 5.1 因此上述椭圆上的点的坐标满足方程 反之 ， 如果点的坐标满足方程， 则 椭圆 5.1 于是 从而 因此这一步可以反推回去，又由于 因此这一步可以反推回去，从而得出点在上述椭圆上． 综上所述，是上述椭圆的方程．注意：. 椭圆 5.1 上述推导过程对于一般的和也是适用的，因此可以得出椭圆的方程为 其中.方程（1）称为椭圆的标准方程，此时椭圆的焦点在轴上． 我们也可以取椭圆的焦点的连线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系,如图5.1-5所示．这个坐标系也称为椭圆的一个标准坐标系，类似地可以求出椭圆的方程为 椭圆 5.1 （1） （2） • • • • • 已知一个椭圆的标准方程，如何判定其焦点在轴上还是在轴上？ 椭圆 5.1 其中.方程（2）也称为椭圆的标准方程，此时椭圆的焦点在轴上．参看本节练习组第4题画出的椭圆的图形. 想一想 • • • • • 1 已知椭圆的焦点在轴上，焦距是，椭圆上一点到两个焦点 的距离之和是，写出这个椭圆的标准方程． 因为， 所以，从而 由于焦点在轴上，因此这个椭圆的标准方程是 例 解 椭圆 5.1 2 求椭圆的焦点与焦距． 由于，，因此 从方程看出，焦点在轴上，因此焦点为，焦距为. 例 解 椭圆 5.1 探索 前面我们根据椭圆的定义，选择适当的直角坐标系得到了椭圆的标准方程： 方程（1）表示的图形是不是像我们在实际生活中见到的椭圆那样？如何根据方程（1）来研究椭圆的性质？ 二、椭圆的性质 （1） 椭圆 5.1 1.图形的范围 从方程（1）看出，椭圆（1）上点的坐标都适合不等式 ： 即 因此椭圆（1）位于直线所围成 的矩形里，如图5.1-6所示． 椭圆 5.1 2.对称性 点在椭圆（1）上 点关于轴的对称点在椭圆（1）上． 椭圆 5.1 因此椭圆（1）关于轴对称，即轴是椭圆（1）的对称轴． 用类似的方法可以证明，椭圆（1）关于轴对称，关于原点对称，因此 轴也是椭圆（1）的对称轴，原点是椭圆（1）的对称中心．即椭圆有两条互相垂直的对称轴，有一个对称中心（简称中心）． • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2.顶点 在方程（1）中，令，得.这说明是椭圆（1）与轴的两个交点．同理，在方程（1）中，令，得，因此是椭圆（1）与轴的两个交点．我们把椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点．椭圆共有4个顶点． 椭圆 5.1 椭圆的焦点所在的对称轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴；另一条对称轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴．从顶点的坐标容易计算出，长轴的长为，短轴的长为.把分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长，把叫作椭圆的半焦距． 3 求椭圆的图形． 由于，，因此椭圆位于直线所围成的矩形里．由于椭圆关于轴、轴都对称，因此只要先画出椭圆在第一象限及边界的部分． 把椭圆的方程变形为 例 解 椭圆 5.1 椭圆在第一象