5.2双曲线课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第五章 圆锥曲线 椭圆 5.1 双曲线 5.2 抛物线 5.3 5.2 双曲线 观察 一个发电厂冷却塔的纵截面的外部轮廓是双曲线的一部分，如图5.2-1所示． 双曲线 5.2 一、双曲线的标准方程 反比例函数的图像是双曲线，如图5.2-2所示． 一些天体的运行轨道是双曲线． 如何统一地研究实际生活中出现的各种各样的双曲线？ 抽象 经过探索，我们给出双曲线的定义如下： 平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为焦距． 为了研究这样定义的双曲线的图形是什么样子，以及研究它的性质，我们要在平面上建立一个适当的直角坐标系，求出双曲线的方程． 双曲线 5.2 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图5.2-3所示．这个坐标系称为双曲线的一个标准坐标系． 设双曲线的焦距为，双曲线上的点与两定点的距离之差的绝对值为，则的坐标分别为.为了使计算简单一些，我们以为例来求双曲线的方程． 双曲线 5.2 点在上述双曲线上 双曲线 5.2 因此上述双曲线上的点的坐标满足方程 反之如果点的坐标满足方程，则 从而 因此或 上述推导过程中“”这一步，如果，则两边开平方并且取算术根，得 如果， 则有 双曲线 5.2 ① 从而， 即，于是由①式得，，因此 于是在两边开平方并且取算术根，得 这证明了“”这一步可以反推回去，因此点在上述双曲线上． 综上所述，是上述双曲线的方程．注意. 双曲线 5.2 上述推导过程对于一般的和也是适用的，因此可以得出双曲线的方程为 其中.方程（1）称为双曲线的标准方程，此时双曲线的焦点在轴上． （1） 我们也可以取双曲线的焦点的连线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．这个坐标系也称为双曲线的一个标准坐标系．用类似的方法可以得出，双曲线的方程为 （2） 其中方程（2）也称为双曲线的标准方程，此时双曲线的焦点在轴上． 双曲线 5.2 • • • • • • • • • • 1 已知双曲线的焦点在轴上，焦距是26，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为24，写出双曲线的标准方程． 例 解 由已知条件得，因此 由于焦点在轴上，因此双曲线的标准方程是 双曲线 5.2 2 求双曲线的焦点与焦距. 由于，因此 从方程看出，焦点在轴上．因此焦点是， 焦距为. 例 解 双曲线 5.2 前面我们根据双曲线的定义，选择适当的直角坐标系建立了双曲线的标准方程： 二、双曲线的性质 方程（1）表示的图形是不是像我们在实际生活中见到的双曲线那样？ 如何根据方程（1）来研究双曲线的性质？ 探索 （1） 双曲线 5.2 1. 图形的范围 从方程（1）看出，双曲线上点的坐标都满足不等式： 即 从而 因此双曲线位于直线的左侧，以及直线的右侧． 双曲线 5.2 2. 对称性 点在双曲线（1）上 点关于轴的对称点在双曲线（1）上． 因此双曲线（1）关于轴对称． 用类似的方法可以证明，双曲线（1）关于轴对称，关于原点对称． 综上所述，双曲线有两条互相垂直的对称轴，有一个对称中心（简称中心）． 双曲线 5.2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 3.顶点 在方程（1）中，令，得．这说明是双曲线（1）与轴的两个交点．在方程（1）中，令，得，这个方程没有实数解，因此双曲线（1）与轴没有交点． 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．从上述知，双曲线共有两个顶点，它们位于焦点所在的对称轴上． 双曲线的两个顶点的连线段称为双曲线的实轴．实轴的长等于．把叫作双曲线的实半轴长． 双曲线（1）与轴没有交点．考虑轴上的两点,我们把线段叫作双曲线的虚轴．虚轴的长等于.把叫作双曲线的虚半轴长． 叫作双曲线的半焦距． 双曲线 5.2 4.渐近线 经过双曲线的两个顶点分别作轴的的平行线；经过两点分别作轴的平行线.这四条直线围成一个矩形，如图5.2-4所示．这个矩形的两条对角线所在的直线的方程分别是 双曲线 5.2 现在我们来讨论这两条直线与双曲线的位置关系．为了使计算较简单一些，我们以,为例来讨论． 考虑方程组 双曲线 5.2 把②式代入①式，得 即 ① ② ③ 无论，取什么值都不可能使③式成立，因此原方程组没有解．这说明直线都与双曲线没有交点． 我们来看直线与双曲线在第一