5.3抛物线课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第五章 圆锥曲线 椭圆 5.1 双曲线 5.2 抛物线 5.3 5.3 抛物线 观察 一元二次函数的图像是一条抛物线．现实生活中，抛出的铅球、水池里喷出的水柱，其在空中运行的轨道是抛物线 的一段；北京颐和园拱桥的纵截面是抛物拱形；等等． 抛物线 5.3 • 抽象 经过探索，我们给出抛物线的定义如下：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线． 为了研究这样定义的抛物线的图形是什么样子，以及研究它的性质，我们要在平面上建立一个适当的直角坐标系，求出抛物线的方程． 一、双曲线的标准方程 抛物线 5.3 如图5.3-1，取过焦点且垂直子准线的直线为轴，轴与相交于点，以线段的垂直平分线为轴，并且使焦点在轴的正半轴上，建立直角坐标系.这个坐标系称为抛物线的一个标准坐标系． 设抛物线的焦点到准线的距离为，则，焦点的坐标为，准线的方程为，即 在抛物线上 点到的距离等于点到点的距离 抛物线 5.3 因此抛物线的方程是 （1） 方程（1）称为抛物线的标准方程，其中是焦点到准线的距离．方程（1）表示的抛物线，焦点在轴的正半轴上，焦点坐标为，准线方程是. 抛物线 5.3 用类似的方法可以得出： 如果抛物线的焦点在轴的负半轴上，焦点坐标为，准线方程为，则抛物线的方程是 （2） 如果抛物线的焦点在轴的负半轴上，焦点坐标为，准线方程为，则抛物线的方程是 （3） 如果抛物线的焦点在轴的负半轴上，焦点坐标为，准线方程为，则抛物线的方程是 （4） 方程（2）、（3）、（4）也是抛物线的标准方程． 抛物线 5.3 1 已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且焦点到准线的距离为，写出抛物线的标准方程． 由于，且焦点在轴的正半轴上，因此抛物线的标准方程是 例 解 2 求抛物线的焦点坐标和准线方程． 从看出，，且焦点在轴的正半轴上，因此焦点坐标为，准线方程为 例 解 抛物线 5.3 3 已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且焦点到准线的距离为，写出抛物线的标准方程． 由于，且焦点在轴的正半轴上，因此抛物线的标准方程是 例 解 评注 一元二次函数可以变形成 （5） 而方程（5）表示一条抛物线，它的焦点在轴上．这说明二次函数的图像是一条抛物线． 一元二次函数的图像可以由二次函数的图像经过平移得到．由于平移不改变图形的形状和大小，因此抛物线在平移下的像仍是抛物线，从而的图像是抛物线． 抛物线 5.3 我们根据抛物线的定义，选择适当的直角坐标系得到了抛物线的标准方程 二、抛物线的性质 如何画出方程（1）表示的图形？如何根据方程（1）研究抛物线的性质？ 探索 （1） 1. 图形的范围 因为，所以，这说明抛物线（1）位于轴的右侧（包括原点）． 因为，所以当从逐渐增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 抛物线 5.3 2.对称性 点在抛物线（1）上 点关于轴的对称点在抛物线上． 因此抛物线（1）关于轴对称．但是抛物线（1）关于轴不对称．抛物线只有一条对称轴．抛物线没有对称中心． 想一想：抛物线为什么关于轴不对称？ • • • • • • • • • 抛物线 5.3 3. 顶点 在方程（1）中，令，得，因此抛物线（1）与轴恰有一个交点，即原点．抛物线与它的对称轴的交点称为抛物线的顶点．抛物线（1）有且只有一个顶点，即原点． 4.离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，称为抛物线的离心率，用表示．根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率 • • • • • • • • • • • 抛物线 5.3 4 画出抛物线的图形． 例 解 由于抛物线关于轴对称，且它位于轴右侧（包括原点），因此只要先画出抛物线在第一象限及其边界的部分．它是函数 的图像．从上式容易看出，它是增函数． 抛物线 5.3 列表 在平面直角坐标系内描出个点，用一条光滑曲线连接各点，再利用对称性画出抛物线在第四象限的部分，如图5.3-2所示． 抛物线 5.3 用类似的方法可以画出抛物线，，的图形，分别如图5.3-3、图5.3-4、图5.3-5所示． 抛物线 5.3 5 已知抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，并且经过点，求抛物线的方程． 例 解 由于抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，且经过点, 因此抛物线的方程形如，其中待定．把代入方程中，得 即 因此所求抛物线的方程为 抛物线 5.3 6 一条隧道顶部的纵截面是抛物拱形．拱高是，跨度是，求拱形的抛物线方程. 例 解 如图5.3-6所示，建立直角坐标系，则拱形的抛物线方程形如，其中待定．由于跨度是，因此；由于拱高，是因此抛物线经过点.于是有 解得.因此拱形的抛物线方程是 抛