8.2排列课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第八章 排列组合 分类计数原理与分步计数原理 8.1 排列 8.2 组合 8.3 组合数的性质 8.4 排列组合的应用 8.5 二项式定理 8.6 8.2 排列 观察 从小明、小亮、小刚3名同学中选出一名班长、一名副班长，有多少种选法？分两步完成： 第一步，选班长．从小明、小亮、小刚中选出一名班长，有3种选法． 第二步，选副班长．从剩下的2名同学中选一名副班长，有2种选法． 根据分步计数原理，从小明、小亮、小刚3名同学中选出一名班长、一名副班长，有（种）选法．这6种选法分别如下： 排列 8.2 班长 副班长 班长 副班长 班长 副班长 小明 小亮 小亮 小明 小刚 小明 小明 小刚 小亮 小刚 小刚 小亮 排列 8.2 我们看到：小明、小亮是一种选法，小亮、小明是另一种选法，他们的次序不一样． 抽象 从上面的例子我们抽象出一类计数问题．即 从个不同的元素中取出个元素，按照一定的次序排成一行，叫作从个不同元素中取出个元素的一个排列． 如果，那么从个不同元素中取出个元素的排列，叫作选排列.如果，即从个不同元素中取出所有个元素的排列，叫作全排列. 研究从个不同元素中取出个元素的排列共有多少个，这类计数问题叫作排列问题． 排列 8.2 • • • • • • • • • • • 1 下列问题是不是排列问题？ （1）某学校的高二（1）班有50名同学，从中选出5人组成班委会，共有多少种选法？ （2）某学校的高二（1）班有50名同学，从中选出5人组成班委会并且进行分工：班长、副班长、学习委员、生活委员、文体委员各1人．试问共有多少种选法？ （1）从50人中选出5人组成班委会，这5人不区分次序，因此每一种选法不是一个排列．从而这个计数问题不是排列问题． （2）从50人中选出5人组成班委会并且进行分工，即选出的5人要区分次序，因此每一种选法是一个排列．从而这个计数问题是排列问题． 例 解 排列 8.2 探索 例1的（2）小题是一个排列问题，你能计算出有多少种选法吗？ 一般地，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 如何计算即从n个不同元素中取出个元素的一个排列， 可以分成步来完成： 排列 8.2 符号中的是英文arrangement（排列）的首字母. • • • • • • • 如图8.2-1所示，第一步，确定第一个位置的元素，有种取法；对于每一种取法，第二步，确定第二个位置的元素，这时剩下个元素，因此有种取法；对于第一、二个位置已经选好的每一对元素，第三步，确定第三个位置的元素，这时剩下个元素，因此有种取法；……；对于第一至第个位置已经选好的每一组元素，第步，确定第个位置的元素，这时剩下个元素，因此有种取法． 排列 8.2 根据分步计数原理得到，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数为： 排列 8.2 （1） 公式（1）称为排列数公式.（1）式右端是个连续正整数的乘积，最大的因 数是，最小的因数是. 当时，由公式（1）得 （2） （2）式右端是自然数1到的连乘积，叫作的阶乘，记作． 于是公式（2）可以写成 即个不同元素的全排列的总数（简称全排列数）等于. 排列 8.2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 计算 例 解 排列 8.2 3 对于例1的（2）小题，计算有多少种选法． 例 解 从50名同学中选出5名的排列数为 即共有种选法． 4 写出用1，2，3这三个数字组成的所有没有重复数字的两位数． 例 解 12，13，21，23，31，32. 排列 8.2 5 写出用1，2，3这三个数字组成的所有全排列． 例 解 123，132，213，231，312，321. 6 用1，2，…，9这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 从1，2，…，9这九个数字中取出四个数字的排列数为 . 因此用1，2，…，9这九个数字，可以组成3024个没有重复数字的四位数． 例 解 排列 8.2 7 用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （方法一）组成一个没有重复数字的四位数可以分两步来完成：第一步，确定千位上的数字，可以从1到9这九个数字中任取一个，因此有9种取法；对于这每一种取法，第二步，从剩下的九个数字中取出三个数字分别放在百位、十位和个位上，这有种取法．根据分步计数原理，用0，1，2，…，9这十个数字组成没有重复数字的四位数一共有 例