8.3组合课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第八章 排列组合 分类计数原理与分步计数原理 8.1 排列 8.2 组合 8.3 组合数的性质 8.4 排列组合的应用 8.5 二项式定理 8.6 8.3 组合 观察 从小明、小亮、小刚3名同学中选出2名代表去参加学校的座谈会，有多少种选法？ 第一种选法：小明、小亮； 第二种选法：小明、小刚； 第三种选法：小亮、小刚. 共有上述3种选法.这个例子的特点是：选出的两人都是代表，不区分次序. 组合 8.3 抽象 从上面的例子抽象出另一类计数问题．即 从个不同元素中取出个元素组成一组，叫作从个不同元素中取出个元素的一个组合． 研究从个不同元素中取出个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫作组合问题． 上述例子是问从小明、小亮、小刚3名同学中选出2名代表的不同选法数，这个问题就是组合问题． 组合问题与排列问题的区别是：从个不同元素中取出个元素的一个组合，不区分取出的个元素的次序，把这个元素看成一组；而从个不同元素中取出个元素的一个排列，要区分这个元素的次序． 组合 8.3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 下列问题哪些是排列问题，哪些是组合问题？ （1）某医院有12名医生，从中选派2名医生给一个学校的学生做体检，有多少种派法？ （2）某医院有12名医生，从中选派2名医生分别到一中、二中为学生做体检，每所学校去一名医生，有多少种派法？ （1）选派的2名医生到同一所学校去，这2名医生组成一组，不区分他们的次序，因此这个计数问题是组合问题． （2）选派的2名医生，一名去一中，另一名去二中，要区分他们的次序，因此这个计数问题是排列问题． 例 解 组合 8.3 探索 例1的（1）小题是组合问题，你能计算出有多少种派法吗？把派法的种数记作. （2）小题是排列问题，派法的种数为，这可以分成两步来计算： 第一步，从12名医生中选取2名医生组成一组，有种取法．第二步，对于这每一种取法，把这2名医生按照派往一中、二中的次序排列，有种派法．根据分步计数原理得到： 由此得出 组合 8.3 一般地，从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． 用上述计算例1的方法来计算从个不同元素中取出个元素的排列，还可以这样分两步来完成： 第一步，从这个元素中取出个元素组成一组，这有种取法； 对于这每一种取法，第二步，把这一组的个元素按一定次序排成一行，这有（种）排法． • • • • • • • 组合 8.3 符 号中的是英文combination（组 合）的首字母. 根据分步计数原理得到，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数为 组合 8.3 在8.2节里已计算出 由此得出 其中. （2） （1） 公式（2）称为组合数公式． 由于结合（1）式得 组合 8.3 其中. （3） 公式（3）称为组合数公式． 组合 8.3 2 计算 例 解 组合 8.3 3 某年级有6个班，每班组织一个篮球队进行班际比赛，每班的篮球队要与其他5个班的篮球队分别比赛一场，试问：总共要进行多少场比赛？ 例 解 每一场篮球比赛有两个队参加，这两个队组成一组．因此进行比赛的场数等于组合数： 即总共要进行15场比赛. 组合 8.3 4 在进行产品检验时，常常从产品中抽取一部分来检查．现在从100件产品中任意抽取3件进行检查，试问：有多少种抽取方法？ 例 解 从100 件产品中抽取3件，这3件组成一组．因此抽取方法的总数等于组合数： 即共有161700种抽取方法． 组合 8.3 5 从100件产品中任意抽取3件进行检查．如果这100件产品中有2件次品，那么抽取的3件中没有次品的抽取方法有多少种？ 例 解 这100件产品中有100-2=98（件）合格品，从这100件产品中抽取3件都是合格品，也就是从98件合格品中抽取3件，这3件组成一组.因 此抽取方法的总数等于组合数： 即从100件产品（其中98件是合格品）中抽取3件都是合格品的抽取方法有152096种． $$