8.6二项式定理课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第八章 排列组合 分类计数原理与分步计数原理 8.1 排列 8.2 组合 8.3 组合数的性质 8.4 排列组合的应用 8.5 二项式定理 8.6 8.6 二项式定理 观察 设是任意实数，则 二项式定理 8.6 你能看出什么规律吗？ 一般地，对于任意正整数， 探索 设是任意实数，是任意给定的正整数，则 （1） （1）式右端有个因式，每个因式都是. 运用实数乘法的分配律，加法的交换律、结合律等，可以把（1）式的右端展开．展开式的每一项都是从（1）式右端的每一个因式里取一个字母相乘得到的．如果在个因式里取字母，其余个因式里取字母，它们相乘就得到． 二项式定理 8.6 由于从个因式里取出个因式的取法的总数为，因此形如的项有项．让分别取，我们就得到的展开式为 （2） 公式（2）叫作二项式定理．右边的多项式叫作的二项展开式，共有项，其中每一项的系数（其中）叫作二项式系数，（2）式中的叫作二项展开式的通项，它是展开式的第项，记作，即 二项式定理 8.6 （3） 在二项式定理中，如果取，则得到 （3） 公式（3）是常用的公式． 二项式定理 8.6 1 求的展开式． 例 解 在二项式定理中，取，则得到 . 2 写出的展开式． 例 解 二项式定理 8.6 1 求的展开式中的系数． 例 解 的展开式的通项是 . 根据题意，得. 于是含的项的系数是 二项式定理 8.6 一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念. 观察 二项式系数有什么特点 ？ 二项式定理 8.6 探索 在上述二项式系数列成的图表中，最左边的斜线上都是1，最右边的斜线上也都是1.每一行中间的一些数有如下规律： 的第二个系数2是图表中第一行的两个1的和 ； 的第二个系数3是它“肩上”两个数1与2的和，第三个系数3是它“肩上”两个数2与1的和； 的第二个系数4是它“肩上”两个数1与3的和，第三个系数6是它“肩上”两个数3与3的和， 由此猜想：在二项式系数列成的上述图表中， （1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和； （2）每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等； 二项式定理 8.6 （3）如果二项式的幕指数是偶数，那么它的展开式中，中间一项的二项式系数最大，如果是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大. 性质（1）成立的根据是； 性质（2）成立的根据是； 性质（3）的证明从略． 上述二项式系数列成的图表，人们称它为贾宪三角或杨辉三角． 二项式系数还有其他一些性质．例如， 二项式定理 8.6 （4） 公式（4）的证明如下：在的展开式（3）中，取，得 . $$