9.3正态分布课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第九章 随机量及其分布 离散型随机变量及其分布 9.1 二项分布 9.2 正态分布 9.3 9.3 正态分布 观察 某工厂某月生产了一大批某种型号的机械零件，生产时由于受各种偶然因素的影响，因此不可能做到每个零件的质量都正好是这种型号的零件的规定质量．我们想了解这批零件的质量（单位：g）的分布情况. 用表示零件的质量（单位：g），由于对于任一实数，“”表示一个随机事件，因此是一个随机变量．我们从这一大批零件中随机抽取100个零件，测量它们的质量（单位：g），整理后得到下表： 正态分布 9.3 正态分布 9.3 零件的质量分组 频数 频率 频率/组距 正态分布 9.3 零件的质量分组 频数 频率 频率/组距 以直角坐标系的轴表示质量（单位：g），以轴表示频率除以组距所得的商．以各组的组距为底，以频率除以组距所得的商为高，作矩形，便画出了频率分布直方图，如图9.3-1所示，其中每个小矩形的面积为 即小矩形的面积等于该组的频率． 正态分布 9.3 • • • • • • • • • • • • • 从频率分布直方图9.3-1看出，从这批零件中随机抽取的100个零件的质量分布状况具有“中间高，两边低”的特点．即质量在的零件最多，往左右两边逐渐减少，而且左右两边近似对称．如果该工厂一直生产这种型号的机械零件，随机抽取的零件更多，把组距取得很小，矩形就很窄，如图9.3-2所示． 正态分布 9.3 为了使图更清晰，去掉矩形的竖直线，只剩矩形的上边，则频率分布直方图就接近于一条光滑的曲线．由于每个小矩形的面积等于该组的频率，从频率的定义容易算出，所有各组的频率之和等于1，因此频率分布直方图的所有小矩形的面积之和等于1. 从上面的例子和讨论，我们引出下述类型的由线： 定义1 平面上的一条光滑曲线如果满足下列条件： （1）曲线关于直线对称，其中是一个实数，曲线在处最高，往左右两边延伸时逐渐降低， 抽象 正态分布 9.3 （2）曲线在轴的上方，并且曲线与工轴所夹的区域的面积等于1，那么称曲线是一条正态曲线，如图9.3-3所示． 什么样的函数的图像会是一条正态曲线呢？我们考虑下述形式的函数： 正态分布 9.3 因此的图像关于直线对称． 设，则，从而. 我们知道，平面上的点与点关于直线对称．由于 于是 从而 正态分布 9.3 由于指数函数在上是增函数，因此，从而.于是在上是减函数． 由于的图像关于直线对称，因此在上是增函数． 综上所述，的图像满足定义1中的条件（l）. 由于指数函数的图像在轴的上方，因此的图像在轴的上方． 数学上可以证明的图像与轴所夹的区域的面积等于1，因此的图像满足定义1中的条件（2），从而的图像是一条正态曲线． 定义2 设是一个随机变量．如果存在一个函数 正态分布 9.3 使得对于任一实数，都有等于的图像与直线以及轴围成的左侧区域的面积，那么称随机变量服从正态分布，把称为的概率密度函数，的图像是一条正态曲线． 正态分布中的是英文mean（平均值）的首字母. 如果随机变量服从正态分布，它的概率密度函数为那么简记为 （1） 设随机变量，则的概率密度函数为，从而的图像是正态曲线，如图9.3-4所示，则当时， 正态分布 9.3 定义3 设随机变量，令，则的图像与轴所夹的区域的面积称为随机变量的数学期望，记作. （2） （3） 可以证明，设随机变量，则的数学期望就是，即 正态分布 9.3 定义4 设随机变量，令，则的图像与轴所夹的区域的面积称为随机变量的方差，把的方差的算术平方根称为随机变量的标准差． 可以证明，设随机变量，则随机变量的方差是，的标准差是． 如果服从正态分布的随机变量的数学期望为0，标准差为1，那么称服从标准正态分布，简记作，的概率密度函数为 正态分布 9.3 的图像称为标准正态曲线，如图9.3-5所示． 如何求? 数学工作者编出了一张求的表（见附表，其中）——标准正态分布表，于是通过查标准正态分布表，就可对任一非负实数，求出的值． （4） 1 设随机变量，求. 查附表．从表的第一列找到1.6那一行，再在表的第一行找到0.08那一列，它们的交叉处的值为0.95352，于是 例 解 正态分布 9.3 2 设随机变量，求. 在附表中，只对给出了的值，由于标准正态曲线关于 轴对称，因此从图9.3-5可看出 . 因此. 即. 例 解 正态分布 9.3 从例2的解题过程可看出，一般地，对于任意，有 正态分布 9.3 （5） 设随机变量，则由（2）式、（4）式可得 （6） 因此可以通过查附表，以及利用（5）式，求出 特别地，当时，有 正态分布 9.3 因此 3 设随机变量，求： （1）