6.3两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第六章 立体几何 平面的基本性质 6.1 两条直线的位置关系 6.2 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 直线与平面所成的角 6.6 两个平面的位置关系，平面与平面平行的判定和性质 6.7 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 6.3 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 如图6.3-1所示，在棱长为1的正方体中，由于平面，平面，，平面，因此根据6.2节的命题1得，与是异面直线． 如何定义两条异面直线所成的角呢？ 在图6.3-1所示的正方体中，因为在上取一点，，所以我们把与的夹角称为与所成的角，它等于． 探索 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 由这个例子受到启发，我们引出下述定义： 定义1 设与是异面直线，在上取一点，过点有且只有一条直线与平行（根据平行公理），我们把与的夹角中不大于？的那个角称为与所成的角，如图6.3-2所示． 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 注意：如果在上取另一个点，过点有且只有一条直线与平行．根据平行关系的传递性得，.根据“两直线平行，同位角相等”可知，与所成的角等于与所成的角．因此按照上述定义得到的异面直线与所成的角是唯一的． 1 如图6.3-3所示，在棱长为1的正方体中，判断下列各对线段所在的直线是否为异面直线，并求每一对直线所成的角． （1）AB与B1C1;（2）AB1与DD1; （3）BC1与AD;（4）AB1与BC1. 例 （1）由于平面,平面,,平面, 因此根据6.2节的命题1得，与是异面直线． 在上取一胆，由于,与的夹角是, 因此根据定义1得，与所成的角是. 解 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 （2）由于平面,平面,,平面，因此根据6.2节的命题l得，与是异面直线． 在上取一点，由于,与的夹角, 因此根据定义1得，与所成的角是． （3）由于平面,平面,,平面，因此根据6.2节的命题1得，与是异面直线． 在上取一点，由于,与的夹角, 因此根据定义1得，与所成的角是． 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 （4）由于平面,平面,，平面，因此根据6.2节的命题1得，与是异面直线． 在上取一点，由于，且,因此四边形是平行四边形，从而.连接,由于，因此是等边三角形.于是与的夹角. 因此根据定义1得，与所成的角是. 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 抽象 定义2 如果两条异面直线所成的角为言，那么称这两条异面直线互相垂直. 例如，在图6.3-3所示的棱长为1的正方体中，根据本节开头所说的，异面直线与互相垂直；根据例1的（1）小题，异面直线与互相垂直，相交直线与也互相垂直． 从这些例子中可以看到，空间中互相垂直的两条直线可能是相交直线，也可能是异面直线（它们不相交）． 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 2 如图6.3-4所示，在棱长为1的正方体中 ， 线段所在直线与线段所在直线是否为异面直线？是否垂直？ 例 由于平面,平面,,平面，因此根据6.2节的命题1得，直线与直线是异面直线． 由于，且，因此四边形是平行四边形，它的两条对角线与的交点是的中点，也是的中点．设的中点为，则在中，. 解 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 我们来求与的夹角.由于，因此.从而是等腰三角形，于是它的底边上的中线也是上的高，因此. 从而根据定义1得，与所成的角是，因此垂直． 在例2的求解过程中，为了求异面直线所成的角，根据定义1,需要在上选取一个合适的点，并且过这个点有一条直线与平行． 于是，第一步，考虑四边形若能证明它是平行四边形，则能由它的对角线互相平分，得到两条对角线的交点. 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 第二步，在上取中点，考虑，得出.于是求与的夹角是多少成为下一步要做的工作． 第三步，考虑，证明它是等腰三角形，从而得出，于是因此与所成的角是，从而. 整个过程依次在平面、平面、平面内进行，这样就可以分别利用初中学习过的几何知识来解决．这是判断两条异面直线是否垂直的一种方法． 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 命题 设与是异面直线，若，则与所成的角等于与所成的角；从而若与垂直，则与垂直． 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 证明 如图6.3-5所示，与是异面直线，且.在上取一点，过点有且只有一条直线与平行． 根据定义l,与的夹角中不大于的那个角是与所成的角． 由于因此根据平行关系的传递性得，.于是与的夹角中不大于的那个角是与所成的角． 因此与所成的角等于与所成的角． 从而若与垂直，则与垂直． 3 如图6.3-6所示，在棱长为1的正方体