6.4直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第六章 立体几何 平面的基本性质 6.1 两条直线的位置关系 6.2 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 直线与平面所成的角 6.6 两个平面的位置关系，平面与平面平行的判定和性质 6.7 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 6.4 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 观察 把一支铅笔平放在课桌面上，这时铅笔所在的直线位于课桌面所在的平面内． 把一支铅笔立起来放在课桌面上，这时铅笔所在的直线与课桌面所在的平面有且只有一个公共点． 教室黑板所在墙面的最上边一条直线与地面所在平面没有公共点． 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 抽象 从上述例子受到启发，一条直线与一个平面的位置关系有且只有以下3种情形： （1）直线在平面内——有两个公共点（从而直线上所有点都在平面内）； （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线和平面平行——没有公共点． 我们把直线和平面相交或平行的情况统称直线在平面外． 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 当直线在平面内时，记作； 当在平面外时，记作； 当与平行时，记作； 当与相交于点时，记作，简记作. 图6.4-1分别表示了直线与平面的3种位置关系． 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 如图6.4-2所示，在长方体中，由于四边形是平行四边形，因此. 直观上看，直线与平面没有公共点，从而 平面. 由此受到启发，我们猜想并且证明下述定理： 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 探索 定理1（直线与平面平行的判定定理） 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 已知：平面外一条直线与平面内一条直线平行，如图6.4-3所示． 求证：． 证明 由于因此与确定一个平面，从而. 假如与不平行，由于，因此与相交，设交点为. 由于，且，因此，即. 从而是与的一个公共点，这与矛盾，所以． 利用定理1立即得出，图6.4-2中的直线与平面平行． 为了证平面外的一条直线与平行，只需要证与平面内的一条直线平行. 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 1 证明：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：如图6.4-4所示，空间四边形中，分别是边的中点，平面经过和. 求证：直线． 例 连接. 在中，由己知条件得，. 由于，， 因此． 证明 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 观察 如图6.4-5所示，在长方体中，线段所在的直线与平面平行，连接，. 由于四边形是平行四边形， 于是. 由此受到启发，我们猜想并且来证明下述定理． 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 抽象 定理2（直线与平面平行的性质定理） 如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 已知：如图6.4-6所示，直线平行于平面，经过的平面与相交于直线. 求证：. 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 由己知条件得，与在同一个平面内，由于，因此与没有公共点． 又由于， 因此与没有公共点，从而. 证明 2 设直线与平面平行，试问：平面内有多少条直线与平行？这些直线的位置关系怎样？ 例 若，则根据定理2得，过的任一平面若与平面相交，则它们的交线与平行． 因此平面内有无穷多条直线与平行． 由平行关系的传递性得，这些直线互相平行． 解 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 $$