6.5直线与平面垂直的判定和性质课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第六章 立体几何 平面的基本性质 6.1 两条直线的位置关系 6.2 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 直线与平面所成的角 6.6 两个平面的位置关系，平面与平面平行的判定和性质 6.7 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 6.5 直线与平面垂直的判定和性质 观察 以的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕这根轴旋转一周，如图6.5-1所示．显然直线与直线在旋转过程中产生的任何一条直线垂直．由此受到启发，我们引出下述概念． 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 从大量实践中总结出下述事实： 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有一个平面和已知直线垂直． 画直线和平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图6.5-2所示． 抽象 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线称为这个平面的垂线，这个平面叫作这条直线的垂面．直线和平面互相垂直，记作． 由于直线和平面的位置关系只有3种可能情况，因此如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线一定和这个平面相交，交点称为垂足． • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 探索 如何判定一条直线和一个平面垂直？如果根据定义去判断，需要证明这条直线和已知平面内的任何一条直线都垂直，这比较难做到．有没有较简单的办法呢？ 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 与直线上的一个非零向量共线的向量称为的一个方向向量． 设直线的一个方向向量为，则 所成的角等于 平面内的两个向量若不共线，则平面内任一向量可以唯一地表示成 由上述两个结论受到启发，我们猜测并且来证明下述定理： 定理1（直线与平面垂直的判定定理）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 已知：如图6.5-3所示，直线与平面内的两条相交直线都垂直． 求证：. 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 在平面内任取一条直线. 设的一个方向向量分别为 在平面内，由于不共线， 因此 由于 因此 数学上已经证明，空间向量的内积也具有线性性． 从而由上式得 因此，于是． 证明 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 定理中的“两条相交直线”这一条件不能忽略. 如何在平坦的地面上立一根木杆，使木杆与地面垂直？ 如图6.5-4所示，在准备立木杆的点A处画两条相交直线，立木杆使它与所成的角都是直角，则木杆与地面垂直．这种做法的理论依据是直线与平面垂直的判定定理． 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：直线垂直于平面，如图6.5-5所示． 求证：. 例 解 在平面内任取一条直线，设的一个方向向量分别为. 由于，因此. 由于，因此，从而 因此. 于是，从而． 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 观察 某公路两旁相隔100m立了两根电线杆，每根电线杆都与地面垂直，试问：这两根电线杆是否平行？ 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 抽象 定理2 （直线与平面垂直的性质定理）垂直于同一个平面的两条不重合的直线平行． 已知：直线都垂直于平面，且与不重合，如图6.5-6所示． 求证：. • • • • • • • • • • • • • • 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 • • • • • 证明 已知，，设垂足分别为. 由于过点儿有且只有一条直线与平面α垂直，且与不重合， 因此点与不重合． 连接. 在由与确定的平面内，过点作直线. 由于，因此根据上述例1得，． 由于，并且过点有且只有一条直线与平面垂直， 因此