6.6直线与平面所成的角课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第六章 立体几何 平面的基本性质 6.1 两条直线的位置关系 6.2 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 直线与平面所成的角 6.6 两个平面的位置关系，平面与平面平行的判定和性质 6.7 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 6.6 直线与平面所成的角 观察 在太阳光线的照射下，人、树、电线杆等在地面上都有影子．当太阳光线垂直照射地面时，人的影子就在脚下，加固电线杆用的斜拉粗铁丝的影子是地面上的一条线段，等等． 直线与平面所成的角 6.6 如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线称为这个平面的斜线，斜线和平面的交点称为斜足．斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到这个平面的斜线段. 如图6.6-1所示，直线是平面的斜线，点是斜足，线段是点到平面的斜线段．由于，因此是直角三角形，从而. 抽象 从空间中的任一点向平面引垂线，垂足称为点在平面上的射影．点与垂足间的线段称为点到平面的垂线段（如图6.6-1所示）． 直线与平面所成的角 6.6 这表明：从平面外一点向平面引垂线段和斜线段，则垂线段比任何一条斜线段都短． 从斜线上一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段称为这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上． 如图6.6-1所示，斜线上一点在平面上的射影是.直线是斜线在平面上的射影，线段是斜线段在平面上的射影． 直线与平面所成的角 6.6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 形象地说，斜线段在地面上的射影就是当太阳光线垂直照射地面时，斜线段在地面上的影子. 利用直角三角形的性质，当两条斜线，和平面所成的角相等时，容易得到下列结论： 两条斜线段的长度相等当且仅当它们的射影的长度相等； 斜线段较长当且仅当它的射影较长． 直线与平面所成的角 6.6 1 如图6.6-2所示，已知正方体. （1）斜线在平面上的射影是哪条直线？ （2）和垂直吗？ （3）和垂直吗？ 例 解 （1）斜线在平面上的射影是. （2）由于四边形是正方形，因此，. （3）因为平面，所以. 又 所以平面，从而. 直线与平面所成的角 6.6 从（3）小题看到，从推出了.即在图6.6-2中，从平面内一条直线与斜线的射影垂直，推出了与斜线垂直．这在一般情形下也成立吗？反过来，从平面内一条直线与一条斜线垂直，能否推出这条直线和这条斜线的射影垂直？ 三垂线定理 平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直当且仅当它和这条斜线的射影垂直. 直线与平面所成的角 6.6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 已知：是平面内一条直线，是的斜线，斜足为.过上一点向平面引垂线，垂足为，如图6.6-3所示． 求证：. 直线与平面所成的角 6.6 证明 由于，且， 因此. 从而若，且，则平面，于是. 反之，若，由于，且 因此平面.于是. 2 已知：点是的三条高线的交点，PO与平面ABC垂直，如图6.6-4所示． 求证：PA⊥BC. 例 证明 是斜线在平面上的射影.由己知条件得，，因此. 直线与平面所成的角 6.6 3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这个点在这个平面上的射影在这个角的平分线上． 已知：如图6.6-5所示，在平面内，从外一点分别引的垂线，垂足分别为，且.点在上的射影为. 求证：点在的平分线上． 例 证明 分别是斜线在平面上的射影．由于，因此. 由于，因此. 由于，因此由勾股定理得. 从而点在的平分线上． 直线与平面所成的角 6.6 观察 在发射炮弹时，需要调整好炮筒与地平面所成的角，以便击中目标． 如图6.6-2所示，斜线和它在平面上的射影所成的锐角是，我们可用这个角来度量斜线和平面所成的角． 直线与平面所成的角 6.6 抽象 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角，如图6.6-6所示． 平面的一条垂线和这个平面所成的角是直角. 平面的一条平行线或平面内的一条直线和这个平面所成的角是0°的角（或0弧度的角）． 可以证明：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的