6.8二面角·平面与平面垂直的判定和性质课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第六章 立体几何 平面的基本性质 6.1 两条直线的位置关系 6.2 两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定 6.3 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定和性质 6.4 直线与平面垂直的判定和性质 6.5 直线与平面所成的角 6.6 两个平面的位置关系，平面与平面平行的判定和性质 6.7 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 6.8 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 观察 在修筑长江的防洪大堤时，为了使堤坝能有效地扛住洪水的袭击，必须使堤坝面与水平面成适当的角度． 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 为了使我国广大地区能收看卫星电视，人造地球卫星的运行轨道平面应当和地球赤道平面成合适的角度． 为了使房屋美观实用，屋顶的正面和侧面应成一定的角度． 如果两个平面相交，那么它们的交线把每个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．如图6.8-1所示，由直线出发的两个半平面和组成一个二面角，记作. 抽象 像上述例子那样，实际生活中的许多问题要求我们研究两个平面所成的角． 如果两个平面平行或重合，那么我们说这两个平面所成的角是0°的角（或0弧度的角）． • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 • • 探索 把一张矩形硬纸片对折后张开，如图6．8-1所示，形成一个二面角．这时硬纸片的一条边经过对折再张开后形成一个角，很自然地把这个角的度数叫作二面角的度数．由此受到启发，得到研究二面角的一种方法： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．如图6．8-1所示，是二面角的一个平面角． 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 可以证明：在二面角的棱上取不同的点，得到的平面角是相等的． 二面角的大小可以用它的平面角来度量．把二面角的平面角的度数叫作这个二面角的度数． 当二面角的度数为90°时，称它为直二面角. 两个相交平面恰好构成4个二面角，它们中的任何一个（一般取不大于90°的那一个）叫作这两个平面所成的角． 此结论的证明放在本节末的“阅读材料”里. • • • • • • • • • • • • • • • 1 某山坡的倾斜度（坡面与水平面形成的二面角的度数）是，如图6.8-2所示．在坡面内，从坡脚的处出发，沿一条与坡脚的水平线成角的直路前进，行走200m后，升高了多少米？（） 例 解 设行走200m后到达点. 设点在水平面上的射影为，则所求高度为. 在坡面内，过点作，垂足为 则斜线在平面上的射影为． 由于，因此， 从而就是二面角的一个平面角，于是. 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 在中， . 在中， . 答：沿直路前进后，升高了. 观察 教室里相邻的墙面之间、墙面与地面之间所成的角都是直角． 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 抽象 如果两个平面相交．并且它们所成的角是直角．则称这两个平面互相垂直．平面和垂直，记作. 两个相交平面互相垂直当且仅当它们所成的4个二面角中有一个是直二面角（从而其余3个也是直二面角）． • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 定理1（两个平面垂直的判定定理） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两个互相垂直的平面，其画法如图6.8-3所示，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直． 二面角·平面与平面垂直的判定和性质 6.8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 已知，设垂足为.把平面与的交线记作. 在平面内，过点作射线. 由于，因此. 在上取一点，由于， 因此是二面角的一个平面角． 由于， 因此，从而. 于是二面角是直角，因此. 已知：，，如图6.8-4所示． 求证