7.1复数的概念课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第七章 复数 复数的概念 7.1 复数的运算 7.2 复数的几何表示 7.3 复数的应用 7.4 7.1 复数的概念 观察 在实数集中，方程没有解，因为任何实数的平方都不会等于. 复数的概念 7.1 探索 为了使二次方程有解，人们引入了一个新的数，叫作虚数单位，它具有下列性质： （i）； （ii）实数与进行四则运算时，原有的加法、乘法运算法则仍然成立． 根据上述性质，实数与相乘，其乘积可写成；再将与实数相加，其和可以写成. 形如（其中）的数叫作复数，其中叫作复数的实部，叫作复数的虚部.称为复数的代数形式. i是数学家欧拉最早引入的，它是imaginary（虚幻的） 的首字母. 1 求以下复数的实部和虚部： （1）； （2）； （3）． （1），实部为，虚部为. （2），实部为，虚部为. （3），实部为，虚部为. 例 解 复数的概念 7.1 当时，复数就是实数； 当时，复数叫作虚数； 当且时，复数叫作纯虚数． 例如，中，是实数，是虚数，其中是纯虚数． 如果两个复数与的实部与虚部分别相等，那么称这两个复数相等，记作，即 从而 复数的概念 7.1 所有复数组成的集合叫作复数集，用表示，即 显然，实数集是复数集的真子集． 与有一些不同的性质．例如，任意两个实数都可以比较大小；而两个复数，如果不全是实数，那么不能比较它们的大小． 在复数集中，方程至少有一个解：.由此看出把实数集扩充成复数集的好处，可以把写成. 通常用小写英文字母，，表示复数． 复数的概念 7.1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 己知，其中，求 根据复数相等的定义，得 解得 例 解 复数的概念 7.1 7.2 复数的运算 我们已经学过一元多项式的加法运算，例如， 复数的运算 7.2 类似地，复数的加法运算规定为 回顾 抽象 ， 即两个复数相加只要把它们的实部、虚部分别相加，作为和的实部、虚部. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 容易验证，复数的加法满足下列运算法则： 对任意复数有 （i）（交换律）； （ii）（结合律）； （iii）； （iv）设，令，则 , 把叫作的相反数． 复数的运算 7.2 复数的减法运算规定如下： . 于是 复数的运算 7.2 ， 即两个复数相减只要把被减数的实部、虚部分别减去减数的实部、虚部， 作为差的实部、虚部. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 设求 例 解 复数的运算 7.2 2 设求 例 解 我们已经学过一元多项式的乘法，例如， 复数的运算 7.2 类似地，复数的乘法运算规定为 回顾 抽象 ， 容易验证，复数的加法满足下列运算法则： 对任意复数有 （i）（交换律）； （ii）（结合律）； （iii）； （iv）（分配律）. 复数的运算 7.2 3 设求 例 解 复数的运算 7.2 4 计算 例 解 抽象 由于复数的乘法满足结合律，因此可以规定 复数的运算 7.2 我们还规定 容易验证，对任意复数，以及任意正整数，有 下面我们来计算的正整数指数幕： 从而对任意正整数，有 复数的运算 7.2 即对任意正整数，有 由于复数的乘法满足交换律，因此完全平方公式与平方差公式在复数集中仍然成立，即对任意复数，有 ． 复数的运算 7.2 5 设求 例 解 复数的运算 7.2 6 计算 例 解 复数的运算 7.2 抽象 设，我们把叫作的共轭复数，记作. 复数的运算 7.2 从共轭复数的定义和复数相等的定义，得