7.3复数的几何表示课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第七章 复数 复数的概念 7.1 复数的运算 7.2 复数的几何表示 7.3 复数的应用 7.4 7.3 复数的几何表示 为了使方程有解，引入了虚数单位，即，从而把实数集扩充成了复数集．历史上，当虚数没有在现实世界中获得应用时，不少人对它投下怀疑的目光．在复数有了几何表示而使得其在现实世界中得到应用时，人们才消除了对虚数的疑虑． 复数的几何表示 7.3 我们已经知道，每一个复数能唯一地写成（其中）的形式，从而每一个复数确定了唯一的有序实数对.而在平面上建立了直角坐标系后，每一个有序实数对确定了平面上唯一的一个点,它的坐标是. 因此，每一个复数对应于平面上唯一确定的点.反之，平面上每一个点对应于唯一确定的复数. 这表明，在平面上建立直角坐标系后，复数集与平面上所有的点组成的集合之间有一个一一对应． 探索 复数的几何表示 7.3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 于是复数可以用平面上的点来表示．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，如图7.3-1所示． 复数的几何表示 7.3 1831年，高斯系统地表述了复数与笛卡儿直角坐标平面上的点的一一对应关系，从而进一步肯定了复平面这一概念．后人也将复平面称为高斯平面． • 显然有 是实数点在轴上； 是纯虚数点在轴上且不是原点. 因此，我们把轴叫作实轴，把轴叫作虚轴.于是实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除去原点以外都表示纯虚数． 虚轴上的原点不表示纯虚数，而是量表示实数. 在复平面内，复数用点表示，它的共轭复数用点表示．容易看出，点与点关于实轴对称，如图7.3-1所示． 复数的几何表示 7.3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 在复平面内分别描出表示下列复数的点： （1） （2） 如图7.3-2所示，点表示复数，点表示. 例 解 复数的几何表示 7.3 由于平面上所有点组成的集合与平面上所有定位向量（即以原点为起点的向量）组成的集合之间有一个一一对应，因此复数集与复平面上所有定位向量组成的集合之间有一个一一对应：每一个复数对应于向量其中的坐标为，于是复数可以用向量表示，如图7.3-3所示． 用复平面上的向量表示复数，比起用点表示复数有许多优越的地方，其中一个优点是：向量有长度． 复数的几何表示 7.3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 如果复数对应于向量，那么我们把的长度叫作复数的模，记作. 由于的坐标是，因此，从而 想一想：当复数是实数时，用这个公式算出的是否与以前熟悉的绝对值一致？ 复数的几何表示 7.3 即复数的模等于它的实部与虚部的平方和的算术平方根． 由于，因此 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 求下列复数的模： （1）（2） 例 解 （1） （2） 复数的几何表示 7.3 3 设复数分别满足下列条件，那么在复平面上对应的点的集合是什么图形？ （1） （2） 例 解 （1）由于点与原点的距离为3，因此满足的点的集合是以原点为圆心，半径为3的圆，如图7.3-4所示． 复数的几何表示 7.3 （2）由于点与原点的距离小于或等于3，因此满足的点的集合是：以原点为圆心，半径为3的圆和它的内部． 复数的几何表示 7.3 类似地，我们可以知道，满足的点的集合是：以原点为圆心，半径为1的圆以及它的外部． 因此满足的点的集合是上述两个集合的交集