10.1用样本估计总体课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第十章 统计 用样本估计总体 10.1 一元线性回归 10.2 10.1 用样本估计总体 我们称所研究的全部元素组成的集合为总体，由总体中一部分元素组成的集合称为一个样本，样本中含有的元素的个数称为这个样本的容量． 我们希望从样本的某些方面的信息来推测总体在这方面的情况，这就需要好的抽取方法．如果在每次抽取时总体中各个元素被取到的概率都相等，并且在整个抽样过程中各个元素被取到的概率都一样，那么这种抽取方法称为简单随机抽样．用简单随机抽样方法获得的样本称为简单随机样本． 利用随机数表可以从总体中获得一个容量为的简单随机样本．先将总体中的各个元素编号，然后按照下列办法来抽取：从随机数表中任一数开始，取个数，再从总体中抽出编号与这个数相同的元素． 用样本估计总体 10.1 回顾 想一想 某工厂7月份生产了一批某种型号的机械零件，我们想了解这批零件的直径（单位：）的平均值，以及这批零件的直径的分散程度.为此我们来考察这批零件组成的总体的直径这个指标.由于对于任一实数，“”表示一个随机事件，因此是一个随机变量，这批零件的直径的平均值就是随机变量的数学期望，这批零件的直径的分散程度用的方差和标准差来刻画.和都是未知的，如何估计它们呢？ 用样本估计总体 10.1 1 某工厂7月份生产了一批某种型号的机械零件，这批零件组成的集合是总体，为了估计总体的直径这个指标的数学期望，从总体中采用简单随机抽样方法抽取8个零件组成一个样本，测量它们的直径（单位：）如下： 求得一个估计值. 例 用样本估计总体 10.1 计算所给样本的均值： 于是我们可以用作为的一个估计值． 用样本估计总体 10.1 解 在例1中，用简单随机抽样方法从总体中抽取各个容量为8的样本时，这些样本的均值不一定相等，这样就会得到总体的指标的数学期望的不同估计值．于是要问：用一个样本的均值作为的估计值，这样做的科学性如何？为此我们引入一个随机变量: 其中随机变量分别是简单随机样本的8个数据． 于是随机变量可能取的数值是各个容量为8的简单随机样本的均值.我们用估计总体的指标的数学期望，即用容量为8的简单随机样本的均值（称它为的一个观察值）作为的一个估计值． 用样本估计总体 10.1 根据简单随机抽样的定义，在每次抽取时总体中各个元素被取到的概率都相等，并且在整个抽样过程的各次抽样中，各个元素被取到的概率都一样，因此随机变量都服从与总体的指标的概率分布相同的分布，并且是相互独立的． 为了讨论用估计总体的指标的数学期望的科学性如何，我们需要掌握随机变量的数学期望的一些性质． 用样本估计总体 10.1 抽象 性质1 设是一个随机变量，则对于任一非零实数有 用样本估计总体 10.1 （1） 证明 我们只对离散型随机变量进行证明.设的概率分布为 （2） 则可能取的值为，并且 用样本估计总体 10.1 因此 性质2 设是一个随机变量，则对于任一非零实数和实数有 用样本估计总体 10.1 （3） 证明 我们只对离散型随机变量进行证明.设的概率分布如表（2）所示，则可能取的值为， 从而 数学上可以证明关于随机变量的数学期望的以下两个重要定理： 定理1 任意有限多个随机变量的和的数学期望等于这些随机变量的数学期望的和． 定理2 任意有限多个相互独立的随机变量的积的数学期望等于这些随机变量的数学期望的积． 利用性质1和定理1，我们可以证明下述定理： 定理3 设随机变量服从与总体的指标的概率分布相同的分布，我们引入一个随机变量 用样本估计总体 10.1 则 我们用一个容量为的简单随机样本的均值作为总体的指标的数学期望的一个估计值，与可能不同．但是根据定理3得出：一系列容量为的简单随机样本的均值的平均值（即）与相等．这就回答了用样本的均值估计总体均值的科学性． 用样本估计总体 10.1 你能自行证明定理3吗？ 探索 现在我们来探索如何估计总体的指标的方差. 我们用样本的方差作为的方差的一个估计值，根据《数学·基础模块下册》8.6节的公式（5）和例1的结果得 2 例 解 条件同例1，求总体的指标的方差的一个估计值，并求的标准差的一个估计值． 用样本估计总体 10.1 于是的方差的一个估计值是. 由于，因此的标准差的一个估计值是. 用样本估计总体 10.1 用简单随机样本的方差作为总体的指标的方差的一个估计值，这样做的科学性如何？数学上可以证明下述定理： 定理4 设随机变量服从与总体的指标的概率分布相同的分布，并且是相互独立的，我们引进一个随机变量： 则 （4） 用样本估计总体 10.1 于是用的一个观察值（即样本的方差）作为总体的指标的方差的一个估计值，用样本的标准差作为的标准差的一个估计值，其中样本的方差为 用样本估计总体 10.1 观察 在例1中，我们用样本的均值作为总体的指标的数学期望的