10.2一元线性回归课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第十章 统计 用样本估计总体 10.1 一元线性回归 10.2 10.2 一元线性回归 一元线性回归 2 观察 人的身高与体重有没有关系呢？我们把一个地区的居民组成的集合作为总体，总体的身高指标记作，总体的体重指标记作 由于对于任一实数，“”表示一个随机事件，因此是一个随机变量．同理，也是一个随机变量． 10.2 探索 我们用简单随机抽样方法从上述总体中抽取8个人，测量他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到8对数据： 一元线性回归 ① ③ ② 172 150 85 身高 编号 165 180 176 155 160 ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 170 60 47 体重 70 75 80 50 65 10.2 首先我们建立一个平面直角坐标系，轴表示身高（单位：cm），轴表示体重（单位：kg）.上述样本中每个人的身高与体重组成的有序数对，对应平面上一个点，这些点组成的图形叫作散点图，如图10.2-1所示． 从散点图看出，这些散点大致在一条直线附近．这启发我们，人的体重与身高大体上有一次函数的关系，即可以设 一元线性回归 10.2 （1） 其中是未知的，需要由样本的数据去估计的值． 估计的想法是，找出一条直线，使得它能较好地描述散点图的走向，即使得直线与散点图中各个点总的来说最接近，如图10.2-1所示． 数学上如何描述“总的来说最接近”呢？设样本中的数据组成的有序数对依次为： 一元线性回归 10.2 任取一条直线.对于1上的点，当它的横坐标为时，纵坐标为，于是就描述了散点图上的点与直线上相应的点之间的偏离．于是散点总的偏离程度可以用下述表达式刻画： （2） • • • • • • • 称（2）式为偏差平方和．我们要找的直线应当使偏差平方和达到最小，此时的值分别记成.于是我们可以分别用去估计（1）式中的b，这叫作最小二乘估计．这种使偏差平方和达到最小的估计方法叫作最小二乘法． 方程 一元线性回归 10.2 叫作体重指标关于身高指标的一元线性回归方程，它的图形叫作回归直线. 一般地，简单随机样本中的数据有个有序实数对： （3） 数学上已经推导出计算的公式： 一元线性回归 10.2 其中 为了便于记忆，我们令 称为样本中心，回归直线一定过样本中心. 则 一元线性回归 10.2 现在我们来求上述例子中，该地区居民的体重指标关于身高指标的一元线性回归方程． 由于 一元线性回归 10.2 从而 因此从上述例子中的样本数据求出的该地区居民的体重指标关于身高指标的一元线性回归方程是 1 某地区的居民组成的集合是总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取20个居民，测量他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到样本的20对数据： 例 一元线性回归 10.2 ① ③ ② 172 150 65 身高 编号 165 175 176 155 160 ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 170 60 40 体重 50 68 70 50 55 168 ⑨ 60 170 ⑩ 64 ⑪ ⑬ ⑫ 150 170 66 身高 编号 176 172 180 158 165 ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ 172 44 68 体重 62 60 80 50 55 170 ⑲ 60 175 ⑳ 70 一元线性回归 10.2 （1）画出样本数据的散点图； （2）求这个地区的居民的体重指标关于身高指标的一元线性回归方程，并且画出回归直线． 解 （1）样本数据的散点图如图10.2-2所示. 一元线性回归 10.2 （2）由于 从而 一元线性回归 10.2 因此，用这个样本数据得到的这个地区居民的体重关于身高的一元线性回归方程为 该地区居民的体重关于身高工的回归直线如图10.2-2中红线所示. 点评 从图10.2-2看到，样本数据的散点图中20个点位于一条直线（即图中的红线）的两侧，而且大多数点沿轴方向与这条直线离得比较近，这使我们感知到，这个地区居民的体重与身高有一定程度的线性相关关系． 一般地，对于总体中的指标和指标，如何刻画与的相关关系呢？ 一元线性回归 10.2 用简单随机样本中指标与指标组成的对数据，求出，令 我们把称为样本的相关系数． 当时，可以认为与高度相关； 当时，可以认为与中度相关； 当时，可以认为与低度相关； 当时，可以认为与相关性极弱． 当时，我们称与不相关； 当时，我们称与正相关； 当时，我们称与负相关． 比较相关系数与一元线性回归方程中的计算公式，你能发现它们之间的联系吗？ 2 在例1中，求所给的样本的相关系数． 由于 又由例1可知 于是 例 解 一元线性回归 10.2 一元线性回归 10.2 因此 由此看出这个地区居民的体重与身高高度相关，并且是正相关．粗略地说，这个地区居民的身高越高，则体重也会越重． 一元线性回归 10.2 注：在例