3.4等比数列及其通项公式课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第三章 数列 数列的概念 3.1 等差数列及其通项公式 3.2 等差数列的前n项和公式 3.3 等比数列及其通项公式 3.4 等比数列的前n项和公式 3.5 数列的应用举例 3.6 3.4 等比数列及其通项公式 观察 取一条长度为的线段，在图3.4-1中标以 等比数列及其通项公式 3.4 第一步：把上述线段分成三等份，去掉中间的一段并且用一个等边三角形的两条边取代它，其边长等于去掉的中间线段的长度，于是就成了由条长度相等的线段组成的曲线．在图3.4-1中标以.在这条曲线中，每一条线段的长度为，曲线的总长度为 等比数列及其通项公式 3.4 按照上述方法一步一步地继续进行下去，在图3.4-1中画出了第一步至第五步所得到的曲线．这样元限进行下去得到的曲线称为科赫曲线． 第二步：对第一步得到的曲线中每一条线段重复第一步的做法，便得到由（条）长度相等的线段组成的曲线，其中每条线段的长度为，曲线的总长度为在图3.4-1中标以 等比数列及其通项公式 3.4 在科赫曲线构造过程中得到三个数列： 每一步得到的曲线中，线段的数目组成的数列 每一步得到的曲线中，每条线段的长度组成的数列 每一步得到的曲线的总长度组成的数列 数列（1）中，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于.数列（2）中，（3）从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于；数列（3）中，每一项与它前面一项的比都等于. （2） （1） （3） 抽象 定义 如果一个数列从第项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列．这个常数称为这个等比数列的公比，它通常用字母表示． 等比数列及其通项公式 3.4 在科赫曲线构造过程中得到的数列（1）、（2）、（3）都是等比数列，它们的公比分别为 由于不能当分母，因此如果是等比数列，那么它的任何一项都不等于，从而公比 探索 公比为的等比数列的通项公式是什么样子的？ 根据等比数列的定义，得 等比数列及其通项公式 3.4 等比数列及其通项公式 3.4 把上述n-l个等式的两边分别相乘 ， 得 整理，得 由此得出 当时，上式为这就是说，当时上式也成立． 公式（4）就是等比数列的通项公式． 从等比数列的通项公式看出，只要知道首项和公比，就可以求出等比数列的任何一项． （4） 1 求在科赫曲线构造过程中得到的数列（1）、（2）、（3）的通项公式． 例 数列（1）的公比是，首项，因此数列（1）的通项公式是 解 数列（2）的公比是，首项，因此数列（2）的通项公式是 等比数列及其通项公式 3.4 数列（3）的公比是，首项，因此数列（3）的通项公式是 评注 从例1的数列（1）、（2）、（3）的通项公式看到，它们都是定义域为正整数集祷的指数函数．从等比数列的定义和通项公式（4）看到，等比数列是定义域为正整数集头或其有限子集的指数函数与首项的乘积. 等比数列及其通项公式 3.4 2 求等比数列 的通项公式以及第7项、第10项． 例 因为所以这个等比数列的通项公式是 即 于是 解 等比数列及其通项公式 3.4 3 在等比数列中，试问：第几项是？ 例 设第项是，根据通项公式得 即 从而 因此 即这个等比数列的第5项是. 解 等比数列及其通项公式 3.4 4 一个等比数列的第4项与第7项分别是，求这个等比数列的通项公式以及第5项． 例 由题意可得 解得 解 等比数列及其通项公式 3.4 因此这个等比数列的通项公式是 即 从而 等比数列及其通项公式 3.4 评注 在两个非零实数与之间插入一个数，则 成等比数列 等比数列及其通项公式 3.4 如果在两个数与之间插入一个数，使成等比数列，则称为与的等比中项． 从上述推导过程看到，当与都是正实数时，它们的等比中项等于这两个正数的几何平均数或者几何平均数的相反数． 在一个等比数列中，任取连续的三项，这三项当然成等比数列，因此可中间那项就是它的前后两项的等比中项． 如果三个数成等比数列，则通常设等比中项为，公比为，从而这三个数分别为 等比数列及其通项公式 3.4 • • • • • • • • • • • • • 5 求与的等比中项． 例 与的等比中项为 解 等比数列及其通项公式 3.4 6 已知三个数成等比数列，它们的和为，积为，求这三个数. 例 设这三个数是由已知条件得 由第二个方程得， 由于所以 代入第一个方程得 解 等比数列及其通项公式 3.4 代入第一个方程得 整理，得 解得 从而所求的三个数为或 等比数列及其通项公式 3.4 $$