3.5等比数列的前n项和公式课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第三章 数列 数列的概念 3.1 等差数列及其通项公式 3.2 等差数列的前n项和公式 3.3 等比数列及其通项公式 3.4 等比数列的前n项和公式 3.5 数列的应用举例 3.6 3.5 等比数列的前项和公式 探索 在3.4节的科赫曲线构造过程中，每一步得到的曲线中，线段的数目组成的数列为 等比数列的前项和公式 3.5 试问：这个数列的前项和是多少？ 用表示这个数列的前项和，则 （1） （2） 能不能设法消掉（2）式右端尽可能多的项，使计算简便呢？关键想法是在（2）式两边乘以公比，得 （3） 等比数列的前项和公式 3.5 比较（2）式和（3）式的右端，它们有很多项是对应相同的．于是我们用（3）式减去（2）式就可以消掉这些项，得到 由此得出 从而 利用上面这种方法，我们可以求出公比为的等比数列的前项和： （4） 等比数列的前项和公式 3.5 用公比乘（4）式的两边，得 （5） 根据等比数列的定义，得 于是（5）式可以写成 用（4）式减去（6）式，得 由于，因此从（7）式得 （6） （7） （8） 等比数列的前项和公式 3.5 当时，从（8）式得出 （9）式就是公比的等比数列的前项和公式． 由于因此（9）式还可以写成 如果等比数列的公比，则这个等比数列是 从而它的前项和. （9） （10） 1 求等比数列 的前10项和． 例 解 因为，所以 等比数列的前项和公式 3.5 2 已知一个等比数列的前4项和是，公比是，求它的首项． 例 解 因为，，所以 解得 因此这个数列得首项是9. 等比数列的前项和公式 3.5 3 设数列的通项公式是，求这个数列的前项和． 例 解 由于 因此是一个等比数列，它的公比，首项.从而它的前项和为 即 等比数列的前项和公式 3.5 4 设数列的通项公式是，求这个数列的前5项和． 分析 从数列的通项公式看出，这个数列是定义域为正整数集的指数函数，因此这个数列是等比数列． 例 解 由题意可得，数列是等比数列，由它的通项公式可知：首项，其公比，从而这个数列的前5项和为 等比数列的前项和公式 3.5 5 已知一个等比数列的前3项和为，前6项和为，求它的前8项和． 分析 由于这个等比数列的前3项和为，前6项和为，因而它的公比不可能为. 例 解 设这个等比数列的首项为，公比为，由己知条件，得 等比数列的前项和公式 3.5 ① ② ③ 在上面的方程组中，得 因为，所以式可以写成 解得 等比数列的前项和公式 3.5 代入方程组的①式，得 解得 于是 因此这个数列的前8项和是 $$