15.3分式方程 第1课时 教案 2023—2024学年人教版数学八年级上册

15.3分式方程 第1课时 【教学目标】 1.理解分式方程的概念，会判断分式方程，会解分式方程，并验根． 2.经历“分式方程→整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识. 3.培养学生自主探索的意识，提高学生的观察能力和分析能力. 【教学重难点】 重点：掌握分式方程的概念及解法． 难点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解. 【教学方法】 启发讲授、合作探究、讲练相结合. 【教学过程】 新课导入： 创设情境 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 . 答案： 新课讲授： （一）分式方程定义 思考：这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 归纳定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ；；；；；；. （二）分式方程的解法 如何把它转化为整式方程呢？ 怎样去分母？这样做的依据是什么？ 分析： 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得 90（30-x)=60(30+x)， 解得，x=6. 检验：将x=6代入原分式方程中，左边==右边，因此x=6是原分式方程的解. 下面我们再讨论一个分式方程的解法： 在方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5)， 得，x+5=10，解得，x=5. 将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，因此x=5不是分式方程的解，实际上，这个分式方程无解. 思考： 前面的分式方程中，为什么有的去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而有的去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）. ：当x=6时，(30+x)(30-x)≠0，这就是说，去分母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. ：当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则这个解不是原方程的解. 归纳结论： 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 解分式方程的步骤： 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. 练习: 指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程. 1 ；②. 解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x； ②最简公分母x2-1，去分母得2(x+1)=4. 例1：解方程−1= 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 1.要把方程化为整式方程，方程两边可以同乘以（ D ） A. 3y-6 B. 3y B. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 2. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ A ） A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 3. 解方程： 解：去分母，得 得，. 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：. （二）求分式方程的参数值 例2：关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是______________． 分析：方程的解是正数满足的条件是：分母不为0；方程的解大于0.