第12章 全等三角形——全等模型——一线三垂直 练习 2023—2024学年人教版数学八年级上册

全等模型——一线三垂直 一 分类学习 （一）直接证明 1．如图，点 在 上，，，，，，，则 的值为 (　　) A． B． C． D． 2.如图，， 分别垂直于 ，点 ， 是垂足，点 是线段 上一点， 是等腰三角形，，求证：． 3. 如图，在 中，， 于点 ，点 在 上，，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，求证：． 4. 如图， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 是 (　　) A． B． C． D． 5.如图，在矩形 中， 在 上， 在 上，且 ，，，矩形 的周长为 ，则 的长是 (　　) A． B． C． D． （二）辅助线的构造 1．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示． （1）如图1，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标； （2）如图2，若A（1，3），B（﹣1，0），求C点坐标； （3）如图3，若B（﹣4，0），C（0，﹣1），求A点坐标． 2．如图，直角坐标系中A（1，0），B（0，2），∠BCA＝90°，BC＝AC，求C点的坐标． 3．如图，直角坐标系中A（2，﹣1），B（﹣1，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，求C点坐标． （三）综合运用 1．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 2．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒． （1）若AB∥x轴，如图1，求t的值； （2）当t＝3时，求出B点的坐标； （3）在（2）的前提下，坐标平面内有一点M（不与A重合），使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请求出点M的坐标． 3．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点 C． （1）当AC＝BC时， ①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．求证：△ACD≌△CBE； ②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF． （2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC． （1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 　 　； （2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB； （3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长． 二 课后作业 1．如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 2．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 3．我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验： （1）请写出证明过程； 类比应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标