12.3 角的平分线的性质 （2）课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 知识回顾 用数学语言表示为： ∵ OC平分∠AOB，P在O上 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线的性质： 不必再证全等 O D E P A C B 反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？ P 思考 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上 P C 证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB 　∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 　 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） 　∴ ∠ POD＝∠POE ∴点P在∠AOB的平分线上 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． P C 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴OP平分∠AOB． 用数学语言表示为： 角平分线的判定 总结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 归纳、比较 PD＝PE=PF. 知识运用回顾 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 D P M N A B C F E 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD 于H，FM⊥BC于M， G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　 FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分上． 例1. P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 A B C E F D 如图，△ABC中，D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 是E、F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线 课堂练习 　　 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） 思考 D C S 解：作夹角的角 平分线OC， 截取OD=2.5cm , D即为所求。 小结 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 1、角平分线的判定： 2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。 交点到三边的距离相等 3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。 课后思考： D N E M F C B A 已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上. 如图, D, E, F分别是△ABC三边上的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G. 求证: AD平分∠BAC. 课堂练习 如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的 周长为15，求S△ABC A B C O M N G D 课堂练习 如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。 求证：AM平分∠DAB D A B C M 课堂练习 $$