12.3 角的平分线的性质 课件 2022-2023学年人教版八年级数学上册

角的平分线的性质 角的平分线的性质 复习提问 1、角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 O P A B 我的长度 生活中有数学 问题引入：中华民族硕果累累，尤其是 今年抗击疫情的阶段性胜利，为新中国71 周年华诞献上了一份厚礼，抗击疫情期间， 我国自主研发的各种机型大显身手。 问题引入：飞机的中轴线恰好在这个角 的平分线上 生活中有数学 角平分线 定义？ 问题引入：飞机的中轴线恰好在这个角 的平分线上，如何用角平分尺画出这个角 的平分线呢？ 生活中有数学 A Ｂ Ｍ Ｎ Ｃ 为什么OC是角平分线呢？ Ｏ 想一想： 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 证明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） O 探究新知 活 动 1 N O M C E 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 如何用尺规作角的平分线？ A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求． 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 活 动 2 A B O C D 实践应用(1) 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等） ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 D P E A O B C 证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵ ∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等) 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 B A D O P E C 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） 判断：判断： 练习2练习2 ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，（ ） DB DC 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 √ 不必再证全等 练习3练习3 如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， 又 ________________ ∴PD=PE ( ) PD⊥OA，PE⊥OB B O A C D P E