专题08 二次根式-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题08二次根式 【知识梳理】 知识点01同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【点石成金】 (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 【点石成金】 (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 知识点02二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【点石成金】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 知识点03二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【点石成金】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 知识点04 二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. 知识点05 分母有理化 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． 【点石成金】 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式. 【题型探究】 题型一、同类二次根式 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【点拨】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案． 【答案】B． 【解析】 A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误； B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确； C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误； D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误 【总结】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键 2.分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 3.（2023·上海·八年级假期作业）若与是同类二次根式，求的最小正整数？ 【答案】 【分析】不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得：（为正整数）， ，则， 当时，，解得，不是正整数，舍去； 当时，，解得，符合题意， 即的最小正整数为． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键． 题型二、二次根式的加减法 4.（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算括号里，再计算除法； （2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键． 5.（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算： 【答案】 【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运