专题11 利用隐零点设而不求解决导数问题（专题训练）-【高考必刷题】2024年高考数学大一轮复习单元•重点•综合集训卷（新教材新高考）

专题11 利用隐零点设而不求解决导数问题 1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）已知函数，曲线在的切线为． (1)求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 2．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知，． (1)当时，证明：； (2)若，恒成立，求a的取值范围． 3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知函数，. (1)求证：； (2)若对恒成立，求的最大值与的最小值. 4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点．其中，为自然对数的底数． (1)求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的取值范围． 5．（2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知函数，且. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围. 6．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数（e为自然对数的底数）. (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求证：实数. 7．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值. 8．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求的最小值. 9．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 10．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）设函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题11 利用隐零点设而不求解决导数问题 1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）已知函数，曲线在的切线为． (1)求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)零点个数为0，证明见解析. 【详解】（1），则有，解得，，则. （2）由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. （3）因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以 ， 当时，，， 则， 则函数的零点个数为0. 2．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知，． (1)当时，证明：； (2)若，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，设， ， 当时，，时，， 所以在单调递减，单调递增， 所以，而，∴，即． （2）法一：若，恒成立， 即， 即， 构造函数，易知在递增， 则不等式为， ∴，设，， 则在递增，递减， ，∴． 法二：，恒成立，即． 令，， 有唯一实数根，设为， 即，，则在递减，在递增， ∴， 即， 设，显然在单调递减， 而，∴，则， ，，∴，． 3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知函数，. (1)求证：； (2)若对恒成立，求的最大值与的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)的最大值为，的最小值为1. 【详解】（1）由，求导得， 因为在区间上，则在区间上单调递减， 所以. （2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”， 令，，则， 当时，对任意恒成立，当时，因为对任意，， 于是在区间上单调递减，则对任意恒成立， 当时，存在唯一的使得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 显然，，则当，即时，对恒成立， 因此当且仅当时，对任意恒成立，当且仅当时，对任意恒成立， 所以对任意恒成立时，的最大值为，的最小值为1. 4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点．其中，为自然对数的底数． (1)求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于， 由题知有两个不同实数根，即有两个不同实数根． 令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，故的图象如图所示，    当时，有两个零点且．则或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，极小值点为． 故有两个极值点时，实数的取值范围为． （2）由于 若设，则上式即为 由（1）可得，两式相除得，即， 由得 所以，令， 则在恒成立，由于， 令，则，， 显然在递增， 又有，所以存在使得， 且易得在递减，递增，又有， 所以存在使得，且易得在递减，递增， 又，则时，时，，所以易得在上递减，在上递增，则， 所以的取值