12.3 第1课时角平分线的性质 课件2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 第1课时 角平分线的性质 第3节 角平分线的性质 1. 会用尺规作图：作一个角的平分线. 2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 3. 会用角平分线的性质解决实际问题. 学习目标 重点 难点 难点 如图是一个平分角的仪器，其中 AB = AD，BC = DC，将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE就是这个角的平分线. 思考 你能说明它的道理吗？ 新课引入 已知：如图，AB = AD，BC = DC. 求证：AE 平分∠BAD. 证明：在△ABC 与△ADC 中 AB = AD BC = DC AC = AC ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC =∠DAC. 即 AE 平分∠BAD. 一 用尺规作角平分线 上述平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB 求作：∠AOB 的平分线. A O B M N 作法: (1)以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N； 新知学习 (2) 分别以 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点 C； (3) 作射线 OC. 则射线 OC 即为所求. A O B M N C 为什么要大于 MN呢？ 证明：连接 CM，CN. 据作图可得 OM = ON，MC = NC. 则在△OCM 和△OCN 中 OM = ON CM = CN OC= OC ∴△OCM≌△OCN ( SSS ) ∴∠MOC =∠NOC， 即射线 OC 平分∠AOB. 如何证明我们的作法是正确的呢？ 针对训练 1.如图，在直线MN上求作一点P，使点Р到射线OA和OB的距离相等. A O B M N 作法: (1)以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 E，交 OB 于F； E F (2) 分别以 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点 C； C P (3) 作射线 OC. 则射线 OC 与直线MN相交与点P，点P即为所求. 二 角平分线的性质 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 思考 PD=PE. 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质? 我们猜想角的平分线有以下性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 下面，我们利用三角形全等证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”.为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO =∠PEO = 90° 在△PDO 和△PEO 中， 证明 ∴△PDO≌△PEO ( AAS ) ∴PD = PE. 归纳 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∠PDO =∠PEO， ∠AOC =∠BOC， OP = OP， 使用定理时这样书写： ∵ OC 平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE. 推理的条件有三个，必须写全，不能少. 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 分析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F， ∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴ DF ＝ DE ＝ 2. 解得 AC＝3. 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E