12.3 第2课时 角平分线的判定 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十二章 全等三角形 第2课时 角平分线的判定 1. 探索并证明角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 3. 会用角平分线的判定解决实际问题. 学习目标 重点 难点 新课引入 你还记得上节课所学的角平分线的性质定理吗？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 一 角平分线的判定 思考 如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 500 m，这个集贸市场应建在何处？ D C S O 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. 新知学习 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?利用三角形全等，可以得到 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 按照上述证明命题的步骤，自己证一证这个结论. 证明 如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 归纳 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 使用定理时这样书写： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ 例1 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴即AD是∠BAC的平分线. ┐ C E A F D B ┐ 二 三角形的内角平分线 探究1 分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部. A B C ┐ A B C A B C 探究2 过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？ A B C A B B C A C 过三角形三条角平分线交点作三角形三边的垂线段相等. ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ D E F A B C P N M 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 针对训练 1.如图，在直角△ABC 中，AC＝BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，若 OM＝4. (1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和； M E N A B C P O D 解：如图，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E, ∵OM＝4. ∴OM+ON+OE=4+4+4=12. (2) 若△ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. 解：连接 OC. E N A B C P O D M 过三角形三条角平分线的交点O向任一边作垂线段h，三角形周长为C，则三角形面积= . 随堂练习 1.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　) A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 解析：由于 O 到△ABC 三边的距离相等， 故 O 是三条内角平分线的交点， 即 BO，CO 都是内角的平分线， 则∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB. ∵∠ABC＋∠ACB＝180°