第8期 双曲线(一)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 一、已知双曲线方程探求渐近线方程 例１双曲线３ｘ２－ｙ２ ＝３的渐近线方程为 （　　） （Ａ）ｙ＝±３ｘ　　　　（Ｂ）ｙ＝±１３ｘ （Ｃ）ｙ＝±槡３ｘ （Ｄ）ｙ＝±槡 ３ ３ｘ 解：令３ｘ２－ｙ２ ＝０，解之得ｙ＝±槡３ｘ． 此即为所求的渐近线方程．故选（Ｃ）． 拓展：根据双曲线的标准方程求其渐近线方程的方 法是：将双曲线标准方程中等号右边的“１”改写为“０”， 求解即可．换言之，双曲线ｍｘ２－ｎｙ２＝ａ（ｍ＞０，ｎ＞０， ａ≠０）的渐近线方程为槡ｍｘ±槡ｎｙ＝０．此结论在解题 中可直接应用． 二、已知渐近线方程探求双曲线方程 例２求与双曲线ｘ ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１共渐近线且过点 Ａ（３槡３，－３）的双曲线的方程． 解：设与 ｘ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１共渐近线的双曲线的方程为 ｘ２ １６－ ｙ２ ９ ＝λ． 因为所求双曲线过点Ａ（３槡３，－３）， 所以 （３槡３） ２ １６ － （－３）２ ９ ＝λ，从而有λ＝ １１ １６． 故所求双曲线的方程为 ｘ２ １１－ １６ｙ２ ９９ ＝１． 拓展：此法简单易行，避免了对焦点位置的研究讨论． 我们把这种解法推广到一般情形． 结论１：与双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１有共同渐近线的双曲 线的方程可表示为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ），与双曲 线 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１有共同渐近线的双曲线的方程可表示为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ），实际上就是将标准方程中 的１换成了非零的待定系数λ． 结论２：若双曲线的渐近线方程是 ｙ＝±ｂａｘ，则双 曲线的方程可表示为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ）． 结论３：若双曲线的渐近线方程是ｙ＝±ｋｘ，则双曲 线的方程可表示为ｙ２－（ｋｘ）２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ）． 书 热点问题１：求双曲线的方程 例１设双曲线与椭圆ｘ ２ ２５＋ ｙ２ １６＝１有共同的焦点，且 与椭圆的一个交点为Ａ －３，１６( )５ ，求双曲线的方程． 分析：由于双曲线与椭圆共焦点，可由椭圆方程得 到焦点坐标，进而可设双曲线的标准方程，然后利用Ａ点 在双曲线上进行求解． 解：由椭圆方程得其焦点为（－３，０）或（３，０）， 所以双曲线的焦点在ｘ轴上． 设双曲线方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由题知双曲线两焦点分别为 Ｆ１（－３，０），Ｆ２（３，０）， 又Ａ －３，１６( )５ 在双曲线上，则２ａ＝｜｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜｜＝ １８ ５，所以ａ＝ ９ ５． 又ｃ＝３，得ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝１４４２５． 因此双曲线的方程为 ２５ｘ２ ８１ － ２５ｙ２ １４４＝１． 热点问题２：求双曲线中的最值问题 例２设点Ｐ是双曲线ｘ ２ ５－ ｙ２ ４ ＝１右支上的任意一 点，Ｆ１，Ｆ２分别是其左、右焦点，若Ａ（５，２）是平面内一定 点，求｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜的最小值． 分析：由双曲线的定义，将 ｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜转化为 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜－２ａ是解题的关键． 解：如右图，由双曲线的定义 可知｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝２槡５， 所以｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ１｜－２槡５， 故｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜ －２槡５． 因为｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜≥｜ＡＦ１｜＝２槡１７，所以当Ａ，Ｐ， Ｆ１三点共线时，｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜取得最小值２槡１７－２槡５． 热点问题３：求双曲线离心率的取值范围 例３双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两个焦点 为Ｆ１，Ｆ２，若Ｐ为双曲线上一点，且｜ＰＦ１｜＝２｜ＰＦ２｜，求双 曲线离心率的取值范围． 分析：欲求双曲线离心率的取值范围，需求出ａ与ｃ 的关系，根据题设特点，可利用双曲线的定义及三角形 三边关系求解． 解：由双曲线的定义，得｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ． 又｜ＰＦ１｜＝２｜ＰＦ２｜， 解得｜ＰＦ１｜＝４ａ，｜ＰＦ２｜＝２ａ． 又因为｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜≥｜Ｆ１Ｆ２｜， 即４ａ＋２ａ≥２ｃ， 所以 ｃ ａ≤３，即ｅ≤３． 又ｅ＞１，所以１＜ｅ≤３． 热点问题４：双曲线中有关对称的探索性问题 例４已知直线ｙ＝ｋｘ＋１与双曲线３ｘ２－ｙ２ ＝１相 交于Ａ，Ｂ两点，那么是否存在实数ｋ使得Ａ，Ｂ两点关于 直线ｘ－２ｙ＝０对称？若存在，求出ｋ的值；若不存在，说 明理由． 分析：对于探索性题目，我们一般假设符合题设条 件的ｋ存在，从这个假设出发，如果能够推导出 ｋ的值， 则说明这样的ｋ是存在的；如果推导不出ｋ的值，或者说 推导出矛盾的结果，这就说明满足条件的ｋ值不存在． 解：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），假设存在实数ｋ，使Ａ，Ｂ 两点关于直线ｘ－２ｙ＝０对称，则ｋ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－２，且 线段ＡＢ的中点