第7期 椭圆(二)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 例 如果椭圆 ｘ２ １００＋ ｙ２ ３６＝１上一点Ｐ到焦点Ｆ１的距 离等于 ６，那么点 Ｐ到另一个焦点 Ｆ２ 的距离是 ． 解析：由题意得２ａ＝２０，｜ＰＦ１｜＝６，所以由椭圆的 定义得｜ＰＦ２｜＝２ａ－｜ＰＦ１｜＝２０－６＝１４． 点评：本题若设Ｐ（ｘ０，ｙ０），然后代入椭圆方程求得 ｘ０，ｙ０，进而求出点Ｐ到焦点Ｆ２的距离，这样做运算量是 较大的．利用椭圆的定义求解则很简捷． 若将条件中的距离换为点的横坐标，可有： 变式１已知椭圆 ｘ ２ １００＋ ｙ２ ３６＝１上一点Ｐ的横坐标为 －５，分别求点Ｐ到左焦点Ｆ１、右焦点Ｆ２的距离． 解析：把点Ｐ的横坐标代入椭圆方程求出点Ｐ的纵 坐标，又易知焦点Ｆ１和Ｆ２的坐标，利用两点间的距离公 式可求得｜ＰＦ１｜＝６，｜ＰＦ２｜＝１４． 若求△Ｆ１ＰＦ２中∠Ｆ１ＰＦ２的余弦值，可有： 变式２如果椭圆 ｘ ２ １００＋ ｙ２ ３６＝１上一点Ｐ到左焦点Ｆ１ 的距离等于６，Ｆ２是椭圆的右焦点，则∠Ｆ１ＰＦ２的余弦值 为 ． 解析：因为Ｆ１（－８，０），Ｆ２（８，０），所以｜Ｆ１Ｆ２｜＝１６． 由已知｜ＰＦ１｜＝６，可得｜ＰＦ２｜＝１４， 所以在△Ｆ１ＰＦ２中， ｃｏｓ∠Ｆ１ＰＦ２ ＝ ｜ＰＦ１｜ ２＋｜ＰＦ２｜ ２－｜Ｆ１Ｆ２｜ ２ ２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ ＝３６＋１９６－２５６２×６×１４ ＝－１７． 故∠Ｆ１ＰＦ２的余弦值为 － １ ７． 点评：有关椭圆的焦点三角形问题，一般都运用椭 圆的定义并且结合三角形中的正弦定理和余弦定理加 以解决． 若已知∠Ｆ１ＰＦ２的大小，求椭圆离心率ｅ的取值范 围，可有： 变式３设Ｐ是椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）上的 一点，Ｆ１，Ｆ２是椭圆的两个焦点，且∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，求椭 圆离心率ｅ的取值范围． 解析：由椭圆的定义得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ． ① 在△Ｆ１ＰＦ２中，∠Ｆ１ＰＦ２ ＝９０°，由勾股定理， 得｜ＰＦ１｜ ２＋｜ＰＦ２｜ ２ ＝｜Ｆ１Ｆ２｜ ２ ＝４ｃ２． ② 综合①②两式，可得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝２（ａ ２－ｃ２）． 由根与系数的关系，可知 ｜ＰＦ１｜，｜ＰＦ２｜是方程 ｘ２－２ａｘ＋２（ａ２－ｃ２）＝０的两根， 则有Δ＝４ａ２－８（ａ２－ｃ２）≥０， 所以 ｃ( )ａ ２ ≥ １２， 即ｅ≥槡２２． 而ｅ＜１，故槡２２≤ｅ＜１． 点评：椭圆中有许多性质都是由定义派生出来 的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的 计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运 算量． 书 椭圆的离心率ｅ是椭圆的一个重要的几何性质，其 主要刻画的是椭圆的扁平程度．下面对它的求解方法进 行总结，供同学们复习时参考． 方法一、利用定义求解离心率 例１已知Ｆ１为椭圆的左焦点，Ａ，Ｂ分别为椭圆的右 顶点和上顶点，Ｐ为椭圆上的点，当 ＰＦ１⊥ Ｆ１Ａ，ＰＯ∥ ＡＢ（Ｏ为椭圆中心）时，求椭圆的离心率． 分析：求椭圆的离心率，需求 ａ，ｃ的值，或将 ａ，ｃ用 同一个量表示，本题没有具体数值，因此尝试把ａ，ｃ用同 一个量表示． 解：由题设椭圆方程为 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， Ｆ１（－ｃ，０），则Ｐ －ｃ，± ｂ２( )ａ ．本题按Ｐ －ｃ，ｂ ２( )ａ( )计算 因为ＡＢ∥ＰＯ，所以ｋＡＢ ＝ｋＯＰ，即 － ｂ ａ ＝ －ｂ２ ａｃ． 所以ｂ＝ｃ． 又因为ａ＝ ｂ２＋ｃ槡 ２ ＝槡２ｂ， 所以ｅ＝ ｃａ ＝ ｂ 槡２ｂ ＝槡２２． 点评：求解离心率的过程是探索参数 ａ，ｂ，ｃ，ｅ的方 程或不等式解的过程，一般采取直接法、几何法等． 方法二、解方程求解离心率 例２若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成 等差数列，则该椭圆的离心率为 （　　） （Ａ）４５　　（Ｂ） ３ ５　　（Ｃ） ２ ５　　（Ｄ） １ ５ 分析：本题考查的是椭圆的基本性质，解题的关键 是正确翻译题目中的文字信息得到ａ＋ｃ＝２ｂ，然后结合 椭圆的几何性质求得椭圆的离心率． 解：设长轴长为２ａ，短轴长为２ｂ，焦距为２ｃ， 则由题知ａ＋ｃ＝２ｂ， 根据椭圆的性质可知（ａ＋ｃ）２＝４ｂ２＝４（ａ２－ｃ２）， 整理可得５ｃ２＋２ａｃ－３ａ２ ＝０，即５ｅ２＋２ｅ－３＝０， 解得ｅ＝ ３５或ｅ＝－１（舍），故选（Ｂ）． 点评：在解决这类问题时首先要审好题，然后找到 关系，结合椭圆的几何性质求解． 方法三、利用焦点三角形求解离心率 例３（１）已知Ｐ是椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）上 任意一点，Ｆ１，Ｆ２是椭圆的左、右焦点．若 ∠ＰＦ１Ｆ２ ＝ ６０°，∠ＰＦ２Ｆ１ ＝３０°，则椭圆的离心率为 ． （２）已知Ｐ是椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）上任意 一点，Ｆ１，Ｆ２是椭圆的左、右焦点．若∠Ｆ１ＰＦ２ ＝