第1期 一次函数的图象与直线的方程，直线的倾斜角、斜率及其关系，直线的方程-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 第一招：点斜式 出招条件：能够确定直线的斜率ｋ和一个具体的点 （ｘ１，ｙ１）． 招数拆解：已知直线过点（１，２），且倾斜角的正切 值为 １２ ５，求该直线的方程． 解：设直线的倾斜角为α，则ｔａｎα＝１２５， 即直线的斜率为ｋ＝１２５． 所以直线的点斜式方程为ｙ－２＝１２５（ｘ－１）， 即１２ｘ－５ｙ－２＝０． 招数缺陷：点斜式不能表示垂直于 ｘ轴的直线．因 为这样的直线倾斜角为９０°，其正切值不存在，也就是 斜率不存在．没有了斜率，也就没有直线的点斜式． 第二招：斜截式 出招条件：能够确定直线的斜率ｋ和截距ｂ． 招数拆解：若直线的倾斜角为６０°，且过点（０，１）， 求该直线的方程． 解：因为直线的倾斜角为６０°， 所以直线的斜率为ｋ＝ｔａｎ６０°＝槡３． 因为直线的纵截距为ｂ＝１， 所以直线的斜截式方程为ｙ＝槡３ｘ＋１， 即槡３ｘ－ｙ＋１＝０． 招数缺陷：斜截式同点斜式一样不能表示垂直于ｘ 轴的直线，因为直线斜率不存在，其纵截距也就不存 在，该招式也就派不上用场． （下转２版） ! !" # ! 书 编者语：直线方程的形式比较多，而在实际题目中 所给条件不相同，那么在求解时如何合理选择直线方程 的形式呢？现与同学们分享几道求解直线方程的例题， 希望对同学们的学习有所帮助． 例１求斜率为槡３３，且分别满足下列条件的直线方程： （１）经过点（槡３，－１）； （２）在ｘ轴上的截距是 －５． 分析：根据对应的条件，只要再加一个条件就可以 求解对应的直线方程，关键是正确选择相应的直线方程 的形式加以分析求解． 解：（１）因为直线经过点（槡３，－１），斜率为槡 ３ ３，所以 直线方程是ｙ＋１＝槡３３（ｘ－槡３），即槡３ｘ－３ｙ－６＝０． （２）因为直线的斜率为槡３３，在ｘ轴上的截距是 －５， 即过点（－５，０），所以直线方程是ｙ－０＝槡３３（ｘ＋５），即 槡３ｘ－３ｙ＋ 槡５３＝０． 感悟：正确理解与掌握直线方程的形式与对应的确 定方程的条件，是解决此类问题的关键所在． 例２已知 △ＡＢＣ的三个顶点分别是 Ａ（０，－６）， Ｂ（３，０），Ｃ（－２，３），求它的三条边所在直线的方程． 分析：由于点Ａ在ｙ轴上，点Ｂ在ｘ轴上，所以ＡＢ边 所在直线的方程可选用截距式表示，ＡＣ边所在直线的方 程可选用斜截式表示，ＢＣ边所在直线的方程可选用点 斜式或两点式表示，最后统一都化为一般式． 解：由题知点Ａ在ｙ轴上，点Ｂ在ｘ轴上，所以ＡＢ边所 在直线在ｙ轴上的截距为－６，在ｘ轴上的截距为３，故ＡＢ边 所在直线的方程为 ｘ ３＋ ｙ －６＝１，即２ｘ－ｙ－６＝０； 因为点Ａ在ｙ轴上，ＡＣ边所在的直线在ｙ轴上的截 距为 －６，故设ＡＣ边所在直线的方程为ｙ＝ｋＡＣｘ－６，将 点Ｃ（－２，３）代入直线方程求得ｋＡＣ ＝－ ９ ２，所以ＡＣ边 所在直线的方程为ｙ＝－９２ｘ－６，即９ｘ＋２ｙ＋１２＝０； 由点Ｂ（３，０），Ｃ（－２，３），得 ＢＣ边所在直线的斜率 为ｋＢＣ ＝ ３－０ －２－３＝－ ３ ５，所以ＢＣ边所在直线的方程为 ｙ－０＝－３５（ｘ－３），即３ｘ＋５ｙ－９＝０． 感悟：应根据条件选择适当的方程形式，以使解法 简便．由于△ＡＢＣ的三个顶点已知，求三边所在直线的 方程，都可以采用两点式求解．本题还可以利用待定系 数法，将所求的直线方程均设为斜截式ｙ＝ｋｘ＋ｂ，只需 确定ｋ与ｂ的值即可． 例３已知直线与坐标轴围成的三角形面积为３，且 在ｘ轴和ｙ轴上的截距之和为５，求这样的直线的条数． 分析：直线与坐标轴围成三角形，故截距不为零，所 以设出直线的截距式方程，再由条件写出相应的截距之 间的关系，联立方程组并加以求解． 解：设直线的截距式方程为 ｘ ａ＋ ｙ ｂ ＝１， 由题意得 １ ２｜ａｂ｜＝３， ａ＋ｂ＝５ { ， 即 ａｂ＝６， ａ＋ｂ＝５{ ；或 ａｂ＝－６，ａ＋ｂ＝５{ ， 解得 ａ＝３， ｂ＝２{ ，或 ａ＝２，ｂ＝３{ ；或 ａ＝６，ｂ＝－１{ ，或 ａ＝－１，ｂ＝６{ ． 故所求的直线条数有４条． 感悟：直线的截距问题中应注意截距不是距离，可 以取一切实数，本题又结合了面积问题，面积只能是正 的，因此要解好此类题型一定要小心． 书 例１求经过点Ｍ（０，２）并且和两条坐标轴围成的三 角形的面积为１的直线方程． 错解：因为直线经过点Ｍ（０，２），故可设直线方程为 ｘ ａ＋ ｙ ２ ＝１，由题意得 １ ２×２ａ＝１，解得ａ＝１． 所以直线方程为ｘ＋ｙ２ ＝１，即２ｘ＋ｙ－２＝０． 查缺：直线截距是直线与坐标轴交点的不恒为０的 那个坐标，可取任意实数，上述错解直接把直线在ｘ轴上 的截距ａ视为三角形的边长，导致遗漏了ａ＝－１这一种 情形．其实，三角形的这条边长应为｜ａ｜． 补漏：因为直线经过点Ｍ（０，２），故可设直线方程为 ｘ ａ＋ ｙ ２ ＝１