第1期 1.1反比例函数；1.2反比例函数的图象与性质(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 在近几年的试题中，总会出现一些将反比例函数的 图象与几何图形综合到一起考查的问题，这类问题在考 查反比例函数的同时，又考查了同学们对几何图形性质 的掌握程度，下面我们一起来看几道例题． 例１　如图１，点 Ａ在双曲线 ｙ ＝４ｘ上，点Ｂ在双曲线ｙ＝ １２ ｘ上， 且ＡＢ∥ｘ轴，点Ｃ，Ｄ在ｘ轴上，若四 边形ＡＢＤＣ为矩形，则它的面积为 （　　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２ 解析：延长ＢＡ交ｙ轴于点Ｅ，则ＢＥ⊥ｙ轴．因为点Ａ 在双曲线ｙ＝４ｘ上，所以四边形ＡＥＯＣ的面积为４．因为 点Ｂ在双曲线ｙ＝１２ｘ上，所以四边形 ＢＥＯＤ的面积为 １２，所以矩形ＡＢＤＣ的面积为１２－４＝８． 故选Ｃ． 例２　如图２，在平面直角坐 标系中，正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ与 Ｄ在函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象 上，ＡＣ⊥ｘ轴，垂足为Ｃ，点Ｂ的坐 标为（０，２），则ｋ的值为 ． 解析：连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ′．因为四边形ＡＢＣＤ是正 方形，ＡＣ⊥ｘ轴，所以ＢＤ∥ ｘ轴．因为点 Ｂ（０，２），所以 Ｏ′Ｃ＝２＝ＢＯ′＝ＡＯ′＝ＤＯ′，所以点Ａ的坐标为（２，４）， 所以ｋ＝８．故填８． 例３　如图３，在直角坐标系中， 以坐标原点Ｏ（０，０），Ａ（０，４），Ｂ（３，０） 为顶点的Ｒｔ△ＡＯＢ，其两个锐角对应 的外角角平分线相交于点 Ｐ，且点 Ｐ 恰好在反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上， 则ｋ的值为 （　　） Ａ．３６ Ｂ．４８ Ｃ．４９ Ｄ．６４ 解析：过点Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别 为Ｃ，Ｄ，Ｅ．因为点Ａ（０，４），点Ｂ（３，０），所以ＯＡ＝４，ＯＢ ＝３，所以ＡＢ＝５．因为△ＯＡＢ的两个锐角对应的外角角 平分线相交于点Ｐ，所以ＰＥ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＰＣ，所以ＰＥ＝ ＰＣ＝ＰＤ． 设ＰＣ＝ｔ，则点Ｐ（ｔ，ｔ），因为Ｓ△ＰＡＥ ＋Ｓ△ＰＡＢ ＋Ｓ△ＰＢＤ ＋ Ｓ△ＯＡＢ ＝Ｓ矩形ＰＥＯＤ，所以 １ ２·ｔ·（ｔ－４）＋ １ ２·５·ｔ＋ １ ２ｔ· （ｔ－３）＋１２·３·４＝ｔ ２，解得ｔ＝６，所以点Ｐ（６，６）．把 点Ｐ（６，６）代入ｙ＝ ｋｘ中，解得ｋ＝３６．故选Ａ． 书 重点集训营 １．（２０２２上蔡模拟）如图１，直线ＡＢ经过原点Ｏ，且 交反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象于点Ｂ，Ａ，点Ｃ在ｘ轴上， 且ＢＣ＝ １２ＢＡ．若Ｓ△ＢＣＡ ＝１２，则ｋ的值为 ． ２．（２０２２成都新都区模拟）如图２，点 Ｂ在反比例 函数ｙ＝８ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｃ在反比例函数ｙ＝ －４ｘ（ｘ＞０）的图象上，且ＢＣ∥ｙ轴，ＡＣ⊥ＢＣ，垂足为 点Ｃ，交ｙ轴于点Ａ，则△ＡＢＣ的面积为 ． ３．如图３，Ａ，Ｂ是反比例函数ｙ＝６ｘ在第一象限内 的图象上的两点，且Ａ，Ｂ两点的横坐标分别是２和３， 则△ＯＡＢ的面积是 ． ４．如图４，在平面直角坐标系中，矩形 ＯＡＢＣ的两 边ＯＣ，ＯＡ分别在 ｘ轴，ｙ轴的正半轴上，双曲线 ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）分别与边ＡＢ，ＢＣ相交于点Ｅ，Ｆ，且点Ｅ，Ｆ分 别为ＡＢ，ＢＣ的中点，连接ＥＦ．若△ＢＥＦ的面积为５，则 ｋ的值是 ． 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往是难点， 因此本这期我们将开辟一个专门练习添加辅助线的学 习板块，希望同学们好好练习． １．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝１２０°，Ｑ 为ＡＢ的中点，Ｐ为对角线 ＢＤ上的任意一点，则 ＡＰ＋ ＰＱ的最小值为 ． ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，对角线ＡＣ＝５， ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＤ于点Ｅ，Ｑ是线段ＢＥ上的点，连接 ＣＱ，过点 Ｃ作 ＣＰ⊥ ＣＱ交 ＡＤ的延长线于点 Ｐ，当 △ＰＣＱ为等腰三角形时，则ＡＰ的值为 ． 书 如图１，过反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）图象上任意一 点Ａ作ＡＭ⊥ｘ轴，ＡＮ⊥ ｙ轴，连接 ＡＯ，则 Ｓ矩形ＡＭＯＮ ＝ ｜ｋ｜，Ｓ△ＡＯＭ ＝Ｓ△ＡＯＮ ＝ ｜ｋ｜ ２ ，这就是反比例函数 ｋ的几 何意义．下面举例加以说明． 例１　如图２，点Ａ在双曲线ｙ１＝ ２ ｘ（ｘ＞０）上，点 Ｂ在双曲线ｙ２ ＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）上，ＡＢ∥ｘ轴，点Ｃ是ｘ轴 上一点，连接ＡＣ，ＢＣ，若△ＡＢＣ的面积是６，则ｋ的值为 （　　） Ａ．－６　　　Ｂ．－８　　　Ｃ．－１０　　　Ｄ．－１２ 解析：连接ＯＡ，ＯＢ，设ＡＢ与ｙ轴交于点Ｍ，因为ＡＢ ∥ｘ轴，所以ＡＢ⊥ｙ轴．因为Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＯＢ ＝６，Ｓ△ＢＯＭ ＝ １ ２｜ｋ｜，Ｓ△ＡＯＭ ＝ １ ２×２＝１，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＢＯＭ ＋Ｓ△ＡＯＭ ＝ １２｜ｋ｜＋１＝６，解得ｋ＝±１０． 因为点Ｂ在双曲线ｙ２＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）上，且点Ｂ在第 二象限，所以ｋ＜０，所以ｋ＝－１０．故选Ｃ． 例２　如图３，直线ｌ⊥ｘ轴于点Ｐ，且与反比例函数 ｙ１ ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＞０）及ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ（ｘ＞０）的图象分别交于点 Ａ，Ｂ