第1期 1.1相似多边形；1.2怎样判定三角形相似（第一课时）(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 准确地找出两个相似三角形中的对应边和对应角 是学习三角形相似的前提． 相似三角形的对应边（或对应角），不像全等三角形 的对应边（或对应角）那么容易找，而要充分借助角（或 边）的关系来找．一般来说，两个相似三角形中，对应角 所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；反 过来，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角 是对应角；一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小） 的角是对应角． （１）如图１，一般来讲，△ＡＢＣ与 △ＡＥＤ的公共角 ∠Ａ一定是对应角，∠Ａ所对的边ＣＢ与ＤＥ一定是对应 边． （２）如图 ２，一般来讲，在 △ＡＢＯ与 △ＤＣＯ中， ∠ＡＯＢ和∠ＤＯＣ一定是对应角，因为它们是对顶角． （３）但要注意，两个相似三角 形中，公共边不一定是对应边．如图 ３，ＡＢ是△ＡＣＢ与△ＤＢＡ的公共边， 但它不是对应边．显然ＡＢ是△ＡＣＢ 的长边，当然不能对应△ＤＢＡ的短边． 在记两个三角形相似时，把表示对应顶点的字母写 在对应的位置上，这是一种切实可行的方法．但是在使 用符号“∽”来表示两个三角形相似时，要把记述对应 角（或对应边）的字母严格按照对应顺序写下来．如 △ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，就隐含了∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ ＝∠Ｆ，因此在书写时一定要规范． 【练一练】 １．如图４，△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，则ＡＤ对应 ，ＡＥ 对应 ，ＤＥ对应 ，∠Ｄ ＝ ， ∠ＡＥＤ＝ ，∠ＤＡＥ＝ ． ２．如图５，△ＡＢＣ∽△ＡＣＰ，若∠Ａ＝７５°，∠ＡＰＣ＝ ６５°，则∠Ｂ的大小为 （　　） Ａ．４０°　　　Ｂ．５０°　　　Ｃ．６５°　　　Ｄ．７５° 答案：１．ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠ＢＡＣ；　２．Ａ． 书 我们知道：（１）各角对应相等，各边对应成比例的 两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比 叫做相似比．（２）相似多边形的对应角相等，对应边成 比例． 根据以上知识点可解决与相似多边形相关的一些 问题，下面举例加以说明． 例１　若四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似，ＡＢ 与Ａ′Ｂ′，ＡＤ与Ａ′Ｄ′分别是对应边，ＡＢ＝８ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝ ６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，则Ａ′Ｄ′等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５２ｃｍ Ｂ． １５ ４ｃｍ Ｃ．２０３ｃｍ Ｄ． ４８ ５ｃｍ 解析：因为四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似， ＡＢ与Ａ′Ｂ′，ＡＤ与Ａ′Ｄ′分别是对应边， 所以 ＡＢ Ａ′Ｂ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′． 因为ＡＢ＝８ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ， 所以 ８ ６ ＝ ５ Ａ′Ｄ′，解得Ａ′Ｄ′＝ １５ ４（ｃｍ）． 故选Ｂ． 例２　书画经装裱后更便于 收藏．如图，画心 ＡＢＣＤ为长 ９０ｃｍ、宽３０ｃｍ的矩形，装裱后整 幅画为矩形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，两矩形的 对应边互相平行，且ＡＢ与Ａ′Ｂ′的 距离、ＣＤ与Ｃ′Ｄ′的距离都等于４ｃｍ．当ＡＤ与Ａ′Ｄ′的 距离、ＢＣ与Ｂ′Ｃ′的距离都等于 ａｃｍ，且矩形 ＡＢＣＤ∽ 矩形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′时，整幅书画最美观，则此时ａ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．１２ Ｄ．２４ 解析：由题意得 ＡＤ＝３０ｃｍ，ＡＢ＝９０ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝ （９０＋２ａ）ｃｍ，Ａ′Ｄ′＝３０＋８＝３８（ｃｍ）． 因为矩形 ＡＢＣＤ∽ 矩形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，所以 ＡＢＡ′Ｂ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′，所以 ９０ ９０＋２ａ＝ ３０ ３８，解得ａ＝１２． 故选Ｃ． 例３　两个相似多边形的一组对应边分别是３ｃｍ 和４．５ｃｍ，如果它们的周长之和是８０ｃｍ，那么较大的 多边形的周长是 （　　） Ａ．１６ｃｍ Ｂ．３２ｃｍ Ｃ．４８ｃｍ Ｄ．５２ｃｍ 解析：设较大多边形与较小多边形的周长分别是 ｍｃｍ，ｎｃｍ，则 ｎｍ ＝ ３ ４５＝ ２ ３， 所以ｎ＝ ２３ｍ． 根据周长之和是８０ｃｍ，可得ｍ＋２３ｍ＝８０， 解得ｍ＝４８． 故选Ｃ． 书 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往是难点， 因此本学期我们将开辟一个专门练习添加辅助线的学 习板块，希望同学们好好练习． １．如图１，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡２３，ＢＣ＝６，Ｐ为矩 形内一点，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，则ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ的最小值 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡 槡Ａ．４３＋３ Ｂ．２ ２１ 槡 槡Ｃ．２３＋６ Ｄ．４５ ２．如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝ ６０°，∠ＥＡＦ＝６０°，点 Ｅ在 ＣＢ的延长线上，∠ＢＡＥ＝ １５°，点Ｆ在ＤＣ的延长线上，则点Ｆ到ＢＣ的距离为 （　　） 槡 槡Ａ．２３－２ Ｂ．３－ ３ Ｃ．３－槡３２ Ｄ． ９ ２－ 槡３３ ２ ３．如图３，△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ延长线上一点，且 ∠ＣＡＤ＝９０°－１２∠ＢＡＣ，过点Ｃ作ＣＥ∥ＡＤ交ＡＢ于 点Ｅ，且∠ＡＣＥ＝