第1期 21.1二次函数；21.2二次函数的图象和性质-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（沪科安徽专版）

书 求二次函数的表达式，是初中数学的重要内容之 一．学会求二次函数的表达式，可使许多问题迎刃而解， 求二次函数的表达式有什么技巧呢？现举例说明如下． 一、根据一般式求表达式 例１　已知某二次函数的图象过点（０，０），（１，－６） 和（２，－８），求此二次函数的表达式． 解析：此函数的图象过点（０，０），说明其常数项为 ０，所以可设其函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ． 把点（１，－６）和点（２，－８）代入， 得 －６＝ａ＋ｂ， －８＝４ａ＋２ｂ{ ，解得 ａ＝２， ｂ＝－８{ ． 所以ｙ＝２ｘ２－８ｘ． 二、根据顶点式求表达式 例２　已知二次函数的图象的顶点是（１，－２），且 经过点（０，－５），则二次函数的表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝－３（ｘ＋１）２－２ Ｂ．ｙ＝３（ｘ＋１）２－２ Ｃ．ｙ＝－３（ｘ－１）２－２ Ｄ．ｙ＝３（ｘ－１）２－２ 解析：因为二次函数图象的顶点为（１，－２）， 故设二次函数的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－１）２－２，由于 抛物线过点（０，－５），则有ａ（０－１）２－２＝－５， 解得ａ＝－３． 因此抛物线的表达式为ｙ＝－３（ｘ－１）２－２． 故选Ｃ． 三、根据交点式求表达式 例３　已知二次函数经过（２，０），（－４，０），（０，－８） 三点，则表达式为 ． 解析：由题意知抛物线与 ｘ轴的交点为（２，０）， （－４，０），所以利用交点式进行求解． 设二次函数的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－２）（ｘ＋４）， 将（０，－８）代入，得 －８ａ＝－８， 解得ａ＝１， 则二次函数的表达式为ｙ＝（ｘ－２）（ｘ＋４）＝ｘ２＋ ２ｘ－８． 故填ｙ＝ｘ２＋２ｘ－８． １．如果抛物线经过点 Ａ（２，０）和 Ｂ（－１，０），且与 ｙ 轴交于点Ｃ，若ＯＣ＝２．则这条抛物线的表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２－ｘ－２ Ｂ．ｙ＝－ｘ２－ｘ－２或ｙ＝ｘ２＋ｘ＋２ Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２ Ｄ．ｙ＝ｘ２－ｘ－２或ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２ ２．已知二次函数的图象与 ｘ轴、ｙ轴分别相交于 Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）三点．则该二次函数的表达 式是 ． ３．如图，已知某二次函数的顶点坐标是（１，－４），且 经过点Ａ（４，５）． （１）求该二次函数的表达式； （２）点Ｐ（ｍ，ｎ）是该二次函数图象上一点，若点 Ｐ 到ｙ轴的距离不大于４，请根据图象直接写出ｎ的取值范 围． 书 重点集训营 题型一：函数图象 １．在同一平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝－ｋｘ＋ １与二次函数ｙ＝ｘ２＋ｋ的大致图象可以是 （　　） ２．二次函数ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ｃ与一次函数ｙ＝ｃｘ ＋ａ在同一坐标系中的大致图象是 （　　） 题型二：比较大小 １．已知Ａ（－２，ｙ１），Ｂ（１，ｙ２）是抛物线ｙ＝ｘ ２＋２上 的两点，则ｙ１，ｙ２的大小关系为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｃ．ｙ２ ＞ｙ１ Ｄ．无法判断 ２．已知二次函数ｙ＝（ｘ－１）２＋ｈ的图象上有三 点，Ａ（０，ｙ１），Ｂ（２，ｙ２），Ｃ（３，ｙ３），则 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关 系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＝ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ１ ＜ｙ２ ＝ｙ３ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＝ｙ２ ３．如图所示，在同一平 面直角坐标系中，两条抛物 线有相同的对称轴，下列关 系不正确的是 （　　） Ａ．ｈ＝ｍ Ｂ．ｋ＝ｎ Ｃ．ｋ＞ｎ Ｄ．ｋ＞０，ｎ＜０ 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往是难点， 因此本学期我们将开辟一个专门练习添加辅助线的学 习板块，希望同学们好好练习． １．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝１２０°，Ｑ 为ＡＢ的中点，Ｐ为对角线 ＢＤ上的任意一点，则 ＡＰ＋ ＰＱ的最小值为 ． ２．如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交 于点Ｏ，延长ＤＢ到点Ｅ，使ＢＥ＝ＢＤ，连接ＡＥ，分别取 ＡＥ，ＯＣ的中点Ｆ，Ｇ，连接ＦＧ，若ＡＣ＝８，ＢＤ＝４，则线 段ＦＧ的长为 ． ３．如图３，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，对角线ＡＣ＝５， ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＤ于点Ｅ，Ｑ是线段ＢＥ上的点，连接 ＣＱ，过点 Ｃ作 ＣＰ⊥ ＣＱ交 ＡＤ的延长线于点 Ｐ，当 △ＰＣＱ为等腰三角形时，求ＡＰ的值． 书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而减 小；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 增大 ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０），