第1期 1.1分式；1.2分式的乘法和除法(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 学习分式时，正确理解其相关的概念对今后学习分 式的运算至关重要，也是学好分式的关键，怎样才能学 好分式的概念呢？应掌握以下几个要点． 要点一、需弄清判断分式的方法 判断一个代数式是否为分式，不是从原式的化简结 果来判断，而是只看原式的本来面目是否符合分式的定 义．分式必须同时满足以下两个条件：① 被除式（分子） 是整式（可含字母，也可不含字母）；②除式（分母）必须 是含有字母的整式． 例１　在代数式ｘ ２＋１ ２ ， ３ｘｙ π ， ３ ｘ＋ｙ，ａ＋ １ ｍ中，分式有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 分析：根据分式的定义进行判断即可得解．应注意， π是一个数，而不是字母，整式与分式的和仍是分式． 解：根据分式的定义可知代数式中是分式的为： ３ ｘ＋ｙ，ａ＋ １ ｍ． 所以有２个分式． 故选Ａ． 要点二、需掌握分式的值存在及不存在的条件 分式的值存在的条件只有一个，即分式的分母不能 为０，与分式的分子无关； 分式的值不存在的条件也只有一个，即分式的分母 等于０，同样与分式的分子无关． 例２　若代数式 １ｘ－７的值存在，则ｘ的取值范围是 ． 分析：根据分式的值存在的条件“分母不为零”列 出式子，解之即可． 解：因为代数式 １ ｘ－７的值存在，所以分母不能为０， 即ｘ－７≠０． 解得ｘ≠７． 故填ｘ≠７． 要点三、需掌握分式的值为零的条件 分式的值为零的条件是分式的分子为零，分母不 为零． 例３　当ｘ＝２时，下列各分式的值为零的是 （　　） Ａ． ｘ－２ ｘ２－４ｘ＋４ Ｂ． ２ｘ－２ Ｃ．２ｘ－４ ｘ２＋４ Ｄ．２－ｘ２ｘ－４ 分析：本题考查分式的值为零的条件，牢记“分式值 为零的条件是分子等于零且分母不等于零”是解题的关 键．将ｘ＝２逐一代入四个选项，在分子为０的前提下确 保分母不为０，由此即可得出结论． 解：Ａ选项，当ｘ＝２时，分母ｘ２－４ｘ＋４＝０，所以 分式的值不存在，此选项不符合题意； Ｂ选项，当ｘ＝２时，分母ｘ－２＝０，所以分式的值不 存在，此选项不符合题意； Ｃ选项，当ｘ＝２时，分子２ｘ－４＝０，此时分母ｘ２＋ ４＝８，所以分式２ｘ－４ ｘ２＋４ ＝０，符合题意； Ｄ选项，当ｘ＝２时，分母２ｘ－４＝０，所以分式的值 不存在，此选项不符合题意． 故选Ｃ． 书 分式的学习中经常会存在一些“病毒”，下面就让我 们一起目睹这些“病毒”的真面目吧！ 病毒一、对分式的定义理解不透致错 例１　 下列各式：ａ－ｂ２ ， ｘ＋３ ｘ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）， ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ中，不是分式的为 ． 错解：因为 ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ａ＋ｂ ＝ａ－ｂ，ａ－ｂ 是整式，所以填 ａ－ｂ ２ ， ３ ４（ｘ ２＋１），ａ ２－ｂ２ ａ＋ｂ． 剖析：出现错解的原因是对分式的定义理解不透， 分式是一种形式上的定义，不应该在变形或化简之后去 判断，即 ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ是分式； ５＋ｙ π 的分母是π，表示圆周率， 是常数，所以 ５＋ｙ π 不是分式． 正解：填 ａ－ｂ ２ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）． 病毒二、提前约分致错 例２　（２０２２鄄城模拟）要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２） 的值存在，ｘ的取值应该满足 （　　） Ａ．ｘ≠－１ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ≠－１或ｘ≠２ Ｄ．ｘ≠－１且ｘ≠２ 错解：因为 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）＝ １ ｘ＋１，所以要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）的值存在，则有ｘ＋１≠０．解得ｘ≠－１． 故选Ａ． 剖析：出现错解的原因是对原分式进行了约分．要 注意，在分式中，分子、分母都乘（或除以）同一个整式， 可能会改变字母的取值范围，在求使分式的值存在的字 母的取值范围时，必须根据原分式进行求解，而不能先 约分后再求解． 正解：要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）的值存在，则有（ｘ ＋１）（ｘ－２）≠０．所以ｘ＋１≠０且ｘ－２≠０．解得ｘ≠ －１且ｘ≠２． 故选Ｄ． 病毒三、忽略分母不能为０的条件致错 例３　（２０２２乳源三模）若分式｜ｍ｜－５ｍ－５ 的值为零， 则ｍ＝ （　　） Ａ．－５　　　Ｂ．５　　　Ｃ．±５　　　Ｄ．０ 错解：根据题意，得｜ｍ｜－５＝０．解得ｍ＝±５． 故选Ｃ． 剖析：错解的原因是只考虑了分式的分子的值为０， 而忽略了分母的值不能为０． 解：根据题意，得｜ｍ｜－５＝０，ｍ－５≠０．解得 ｍ ＝－５． 故选Ａ． 书 分式的乘法运算是通过约分化简完成的，约分的理 论依据是分式的基本性质．分式的除法运算是将除法运 算转化为分式的乘法运算进行的．下面将对分式的乘除 运算的典型例题进行解析，供同学们参考． 一、分式的分子、分母都是单项式的乘除运算 例１　（２０２２宜春模拟）计算 －２ａ