第7期 12.5因式分解(答案见第9期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 众所周知，利用提公因 式法分解因式的关键是正 确找出公因式．下面举例介 绍公因式的几种类型，供同 学们赏析． 一、单项式公因式 单项式公因式要做到 “三看”： 一看系数：若各项系数 都是整数，则应选取各项系 数的最大公约数； 二看字母：选取各项都 含有的字母； 三看字母的次数：选取 各个字母的最低次数． １．数字公因式 例１　 分解因式：３ｍ２ －３＝ ． 分析：根据提公因式法 和公式法进行因式分解． 解：原式 ＝３（ｍ２－１）＝３（ｍ＋１）（ｍ－１）． 故填３（ｍ＋１）（ｍ－１）． ２．字母公因式 例２　分解因式：ｍ２＋３ｍ＝ ． 分析：利用提公因式法求解． 解：原式 ＝ｍ（ｍ＋３）． 故填ｍ（ｍ＋３）． ３．组合公因式 例３　分解因式：２ｘ３＋４ｘ２＋２ｘ＝ ． 分析：先提取公因式２ｘ，再利用两数和（差）的平方 公式法分解因式即可． 解：原式 ＝２ｘ（ｘ２＋２ｘ＋１）＝２ｘ（ｘ＋１）２． 故填２ｘ（ｘ＋１）２． 二、多项式公因式 在进行多项式公因式的提取时，要注意符号的变 化，有时需要将式子进行变形． 例４　将多项式（ａ－１）２－ａ＋１因式分解，结果正 确的是 （　　） Ａ．ａ－１ Ｂ．（ａ－１）（ａ－２） Ｃ．（ａ－１）２ Ｄ．（ａ＋１）（ａ－１） 分析：通过将原多项式变形可以提取公因式（ａ－ １），进而分解因式得出答案． 解：原式＝（ａ－１）２－（ａ－１） ＝（ａ－１）（ａ－１－１） ＝（ａ－１）（ａ－２）． 故选Ｂ． 书 上期２版 １２．３乘法公式 １２．３．１两数和乘以这两数的差 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．ｘ＝２．　 ４．（１）１１６ｘ ２－９ｙ２；　（２）ｍ４－４ｎ６； （３）２５ｙ２－１６ｘ２；　（４）－４９ｘ２ｙ２＋ｙ２． 能力提高　５．４或 －４． １２．３．２两数和（差）的平方公式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．０；　４．７． ５．（１）３６ａ２－１２ａｂ＋ｂ２；　（２）３８８０９； （３）９ｙ２－１２ｘｙ． 能力提高　６．设其中较长的一段的长为 ｘｃｍ，则 另一段的长为（２０－ｘ）ｃｍ． 根据题意，得（ １ ４ｘ） ２－［１４（２０－ｘ）］ ２ ＝５． 解得ｘ＝１２． 所以２０－ｘ＝８． 答：两段铁丝的长分别为１２ｃｍ和８ｃｍ． １２．４整式的除法 １２．４．１单项式除以单项式 基础训练　１．Ｃ；　２．ｘ３ｙ２；　３．Ｃ，Ａ，Ｃ． ４．（１）６ａｂｃ；　（２）９ａ１２；　（３）ｘｙ． １２．４．２多项式除以单项式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．ｘ＋ｙ． ４．（１）３ａｂ＋２ａ；　（２）３ｘ４＋４ｘ２－２；　（３）ａ－５． ５．根据题意，得 Ａ＝［２ｘ（ｘ２ｙ－ｘｙ２）－ｘｙ（２ｘｙ－ ｘ２）］÷ｘ２ｙ＝（３ｘ３ｙ－４ｘ２ｙ２）÷ｘ２ｙ＝３ｘ－４ｙ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ 二、９．２ｘｙ２；　１０．３；　１１．２９；　１２．２４． 三、１３．（１）－３ｘ２ｙ２＋４ｘｙ；　（２）ｘ２；　（３）１． １４．（１）Ｍ＝（ｘ＋２）２＋（８－ｘ）（８＋ｘ）－２＝ｘ２＋ ４ｘ＋４＋６４－ｘ２－２＝４ｘ＋６６． （２）（ｘ＋１）２－ｘ２＝ｘ２＋２ｘ＋１－ｘ２＝２ｘ＋１＝５． 解得ｘ＝２．将ｘ＝２代入Ｍ，得Ｍ ＝４×２＋６６＝７４． １５．（１）因为Ａ＝ｘ３ｙ－６ｘｙ２，Ａ÷Ｂ＝－３ｘｙ，所以Ｂ ＝（ｘ３ｙ－６ｘｙ２）÷（－３ｘｙ）＝－１３ｘ ２＋２ｙ． （２）丽丽能报一个整式．理由如下： 由题意得Ａ＝（ｘ３ｙ－６ｘｙ２）·（－３ｘｙ）＝－３ｘ４ｙ２＋ １８ｘ２ｙ３．所以丽丽报的整式为 －３ｘ４ｙ２＋１８ｘ２ｙ３． １６．（１）（２×５＋１）２＝（６×１０＋１）２－（６×１０）２． （２）第ｎ个等式为：（２ｎ＋１）２＝［（ｎ＋１）·２ｎ＋１］２ －［（ｎ＋１）·２ｎ］２．理由如下： 因为（２ｎ＋１）２＝４ｎ２＋４ｎ＋１，［（ｎ＋１）·２ｎ＋１］２ －［（ｎ＋１）·２ｎ］２＝［（ｎ＋１）·２ｎ］２＋２（ｎ＋１）·２ｎ＋ １－［（ｎ＋１）·２ｎ］２ ＝４ｎ２＋４ｎ＋１，所以等式成立． 附加题　１．原式 ＝２×［（１－１２）（１＋ １ ２）（１＋ １ ２２ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×［（１－１ ２２ ）（１＋１ ２２ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×［（１－１ ２４ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×［（１－１ ２８ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×（１－１ ２１６ ）＋１ ２１５ ＝２－１ ２１５ ＋１ ２１５ ＝２． ２．因为ａ＋ｂ＋ｃ＝１，所以（ａ＋ｂ＋ｃ）２ ＝ａ２＋２ａｂ ＋ｂ２＋２ａｃ＋２ｂｃ＋ｃ２ ＝１．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝