12.2 第4课时 用“HL”判定直角三角形全等 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十二章 全等三角形 第4课时 用“HL”判定 直角三角形全等 第2节 三角形全等的判定 1. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 2. 灵活运用直角三角形全等定理进行证明. 学习目标 重点 难点 几个条件，这两个直角三角形就全等了? 思考 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形： 满足一直角边及其相对(或相邻)的锐角分别相等(“AAS”或”ASA”)， 或斜边和一锐角分别相等(“AAS”)， 或两直角边分别相等(“SAS”)， 这两个直角三角形就全等了. 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足 新课引入 如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗? 下面，让我们来研究一下这个问题. 任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°， 再画一个 Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = BC，A'B' = AB，把画好的 Rt△A'B'C' 剪下来放到 Rt△ABC 上，它们全等吗？ A C B 探究1 新知学习 如图，已知 Rt△ABC. ∠C = 90°，画一个 Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = BC，A'B' = AB. 画法： (1) 画∠MC'N = 90°； (2) 在射线 C'M 上截取 B'C' = BC； (3) 以点 B' 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C'N 于点 A'； (4) 连接 A'B'. B' A' C' M N B A C 发现：两个三角形能完全重合. 说明：这两个三角形全等. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. ( 简写为“斜边、直角边”或“HL”). 由探究1可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法: 归纳 用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90° ∵ BC = B'C' AB = A'B' ∴ △ABC ≌ △A'B'C＇ ( HL ) B' A' C' B A C 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD. 求证：BC = AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C =∠D = 90° 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA， AC = BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ∴BC = AD. 变式 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由. (1) AD = BC 理由: HL (2) AC = BD 理由: HL (3) ∠DBA =∠CAB 理由: AAS (4) ∠DAB =∠CBA 理由: AAS 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与路段 AB 的距离相等吗？为什么？ 分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°. 针对训练 解：D，E 与路段 AB 的距离相等. 理由：∵C 是路段 AB 的中点，∴AC = BC. ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A =∠B = 90. 在Rt△ADC 和Rt△BEC 中 CD = CE AC =BC ∴Rt△ADC ≌ Rt△BEC ( HL )， ∴ AD = BE， 即 D，E 与路段 AB 的距离相等. 1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL ) 随堂练习 证明：∵CE = BF. ∴CE – EF = BF - EF，即 CF = BE. ∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴∠AEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中， AB = DC， CF = BE， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF (HL). ∴AE = DF. 证明∶∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFC=90°. 在 Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， AE=DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), ∴∠ABE=∠DCF. 2.如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，点E，F是垂足，AE=DF，AB=DC.求证∶AC=DB. 在 △ABC和△DCB中， BC=CB， ∠ABE=∠DCF， AB=DC, ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=DB. 3. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在