1.2 一元二次方程的解法（专项训练）-2023-2024学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学（上） 1.2 一元二次方程的解法【八大题型】（解析版） 题型1 直接开平方法 题型2 配方法 题型3 求根公式法 题型4 因式分解——提取公因式法 题型5 因式分解——十字相乘法 题型6 一元二次方程与平面形的结合 题型7 一元二次方程与图形变化规律的结合 题型8 信息给予型一元二次方程的解法 题型1 直接开平方法 【例1】解关于的方程： ． 【变式1-1】（2023·广东广州·统考一模）解方程． 【变式1-2】解方程： 【变式1-3】（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）解方程： 题型2 配方法 【例2】（2022·江苏徐州·统考中考真题）（1）解方程：； 【变式2-1】（2023·江苏徐州·统考三模）解方程：；     【变式2-2】（2023·安徽·九年级专题练习）解方程：． 【变式2-3】（2023·江苏无锡·统考二模）解方程： 【变式2-4】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 题型3 求根公式法 【例3】（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）解方程：       【变式3-1】（2023·山东淄博·统考二模）用公式法解方程：． 【变式3-2】解方程：． 【变式3-3】（2023·江苏无锡·校考三模）解方程：； 题型4 因式分解——提取公因式法 【例4】（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：． 【变式4-1】（2023·福建厦门·校联考二模）解方程：． 【变式4-2】（2023·广东佛山·统考三模）解方程：． 【变式4-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程： 题型五 因式分解——十字相乘法 【例5】解方程： 【变式5-1】（2023·安徽滁州·统考二模）解方程：． 【变式5-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：． 【变式5-3】（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 题型6 一元二次方程与平面图形的结合 【例6】已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边的长，其中，求k值． 【变式6-1】（2023·广东清远·统考二模）已知关于x的一元二次方程． （1）判别方程根的情况，并说明理由． （2）设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【变式6-2】（2023·广东·九年级专题练习）已知代数式． （1）化简； （2）若一个矩形两条对角线的长为的两根，求的值． 题型7 一元二次方程与图形变化规律的结合 【例7】（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【变式7-1】（2023春·安徽·九年级专题练习）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题． （1）在图5中，白点有_______个，黑点有_______个；图中，白点有___________个，黑点有__________个； （2）在图中，若白点和黑点共有169个，求的值． 【变式7-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题： （1）第6个图案中，黑棋子的个数为___，白棋子的个数为___； （2）第n个图案中，黑棋子的个数为___，白棋子的个数为___；（用含n的式子表示） （3）当摆放到第___个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多． 【变式7-3】（2023·安徽安庆·校联考一模）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案4中，空心圆有_____个；图案中实心圆有______个时，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【变式7-4】（2023春·安徽·九年级专题练习）观察如图中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题： （1）写出第个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式：______