1.3一元二次方程的根与系数的关系（三大题型）讲义2023-2024学年苏科版数学九年级上册

1.3一元二次方程的根与系数的关系 (三大题型) 【学习目标】 1.掌握由根的判别式判断根的情况 2.掌握由根的情况求未知参数的值 3.掌握一元二次方程与三角形的综合 【典型例题】 类型一、由根的判别式判断根的情况 【例1】已知关于x的方程：x2+ax+a-2=0. (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根，X,x2满足x+x=7,求a的值. 举一反三： 【变式1】已知关于的方程2-m-2列x-?-0 (1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根： (②)若这个方程的两个实数根个满足：2，求m的值及相应的本. 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 【变式2】已知关于X的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根： ②若，名是方程的两个实数根，且学+京了，求m的值 【变式3】已知关于x的方程x2-mx+m-2)=0. (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根. 【变式4】关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0. (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 (2)设该方程两个同号的实数根为x,x2,试问是否存在m使x+x+m(x+x,)=m2+1成立， 若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由. 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 类型二、由根的情况求未知参数的值 【例2】关于x的一元二次方程：x2+(2k+1)x+k2+1=0 (1)若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围： (2)若x、x2是方程的两根，且x+=2-x·x2.求k的值. 举一反三： 【变式1】关于x的方程公2+k+2列x+=0有两个不相等的实数根。 (1)求k的取值范围 (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值：若不存在， 说明理由 【变式2】关于x的方程x2-2ar+a+2=0有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件a的 取值范围： (1)两根都小于0： (2)两根都大于1； (3)方程一根大于1，一根小于1. 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 【变式3】已知关于x的一元二次方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个实数根. (1)求k的取值范围： (2)若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根， 【变式4】一元二次方程x2+2ax+6-a=0的根x,x分别满足以下条件，求出实数a的对应范围. (1)两个根同为正根： (2)两个根均大于1： @)年=3. 类型三、一元二次方程的根与三角形的综合 【例I】如图，在△ABC中，AB⊥BE,BD⊥BC,DE=BE,设BE=a,AB=b,AE=c,则以AD 和AC的长为根的一元二次方程是() D A.x2-2cx+b2=0 B.x2-cx+b2=0 C.x2-2cx+b=0 D.x2-cx+b=0 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 举一反三： 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2-(8+)x+8k=0. (1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根. (2)若x+x=68,求k的值. (3)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的 周长. 【变式2】(1)不解方程，判别关于x的一元二次方程x2一(2m+1)x+m(m+1)=0的根的情况： (2)在Rt△ABC中，斜边AB=√4，直角边BC、AC的长是(1)中方程的两个不相等的实数 根，求m的值 【变式3】已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证：k取任何实数，方程总有实数根： (2)若直角三角形ABC的一边长为4，另两边m,n的长恰好是这个方程的两个根，求k的值. 【变式4】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0的两实数根. (1)若这个方程有一个根为1，求m的值： (2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围： (3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1,X2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值. 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值