12.3 第2课时 角的平分线的判定 教案 2023—2024学年人教版数学八年级上册

12．3角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定 教学内容 第2课时 角的平分线的判定 课时 1 核心素养目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，体会角的平分线的判定在实际生活中的意义. 2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，培养类比、分类讨论的数学思维. 3.会用数学的语言表示现实世界：通过对角的平分线的判定定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值. 知识目标 1.探索并证明角的平分线的判定定理. 2.能用角的平分线的判定定理解决简单问题. 教学重点 探索并证明角的平分线的判定定理性质． 教学难点 准确理解和应用角的平分线的判定定理. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 教师叙述：如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ 师生活动：教师分析，把题干解读成数学语言(在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ?)，学生独立思考. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：角平分线的判定 探究新知：角的平分线的判定. 师生活动： 教师提问：角的平分线的性质是? 学生回答：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 教师提问：那么角的内部到角的两边距离相等的点，是否在角平分线上呢? 学生独立思考并得出猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 证一证：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：作射线 OP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等). ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 师生活动：学生独立完成证明过程，教师进行定义总结： 角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 回顾导入：如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处?S 师生活动：学生独立思考并解答问题，教师板书总结. 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝 主题公园应建在何处? 师生活动： 教师分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 师生活动：教师帮助学生分析题干理清思路，把问题实际应用题转化为数学中证明题： 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明： 过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立完成证明过程. 可总结出： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 变式2：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处? 师生活动：学生独立思考，回答问题. (△ABC 的三条内角平分线交点处.) 变式3：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点) 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立解答并画图. 例1 如图，∠ABC 的平