1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 第二课时 研究夹角问题 学习目标 1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角. 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成. 3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小。 . 01情景导入 PART ONE 情境导入 1、点到线的距离 2、点到面的距离 PQ= PQ= = l A u Q P n P A Q 情境导入 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来. 思考：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些? 空间角包括：线线角、线面角、二面角; 常用的求解方法有： 几何法和向量法. 02用空间向量研究夹角问题 PART ONE 空间中直线与直线的夹角 根据前面数量积的学习，我们已经知道向量法求两条异面直线a，b的夹角的方法，思考：异面直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角〈a，b〉之间有怎样的关系式？ 异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线 ，所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 空间中直线与直线的夹角 思考1：两直线夹角的公式为什么不是cosθ＝？ ∵由于两直线夹角的范围为[0，]，两向量夹角的范围为[0，π]，因此，两直线夹角的公式为cosθ＝||，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角． 空间中直线与直线的夹角 相等或互补．两条直线的方向向量的夹角为锐角(直角)时相等，夹角为钝角时互补． 思考2：两条直线的方向向量的夹角与两异面直线所成角关系是什么？ 空间中直线与平面的夹角 探究：如图，设直线AB的方向向量为 ，AC⊥平面α，垂足为C，平面α的法向量为，思考：直线AB与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角〈 ，〉之间满足什么关系式？ 直线AB与平面α所成的角是∠ABC＝θ ， ，sin θ＝|cos〈 ，〉|.　　 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ， 直线的方向向量为 ，平面的法向量为，则sin θ＝|cos〈 ，n〉|＝. 空间中直线与平面的夹角 (2)当 ，与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余．此时，sinθ＝-cos〈 ，〉. 思考：设平面α的斜线l的方向向量为 ，平面α的法向量为，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝？ (1)当 ，与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与 ，所成的角互余．即sinθ＝cos〈 ，〉 空间中平面与平面的夹角 平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 如图，设平面α，β的法向量分别是和，平面α与平面β所成的夹角为θ， 思考：角θ与向量的夹角〈，〉满足什么关系式？ 设平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝. 03新知应用 PART ONE 新知应用 题型一：异面直线所成角 1.已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？ 新知应用 用坐标法求异面直线的夹角 ①建立恰当的空间直角坐标系； ②找到两条异面直线的方向向量的坐标； ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； ④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角． 题型一：异面直线所成角 新知应用 √ 题型一：异面直线所成角 新知应用 题型一：异面直线所成角 新知应用 题型二：直线与平面所成角 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB为正三角形，且侧面PAB 底面ABCD，M为 PD的中点. 求直线BM 与平面 PAD 所成角的大小； 新知应用 设E是AB的中点，连接PE，∵ABCD是正方形，PAB为正三角形，∴PE AB . 又∵面PAB 面ABCD，交线为AB，∴PE 平面ABCD. 以E为原点，分别以EB，EO，EP 所在直线为x,y,z轴，如图