2.4解三角形课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第二章 三角计算 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.2 正弦型函数的性质和图像 2.3 解三角形 2.4 三角计算的应用举例 2.5 2.4 解三角形 观察 同学们在初中已学习过解直角三角形，其依据之一是直角三角形中边与角的关系．图2.4-1画出了一个直角三角形，其中角是直角．今后我们就用角的顶点的字母表示这个角，角的对边记作，等等． 根据锐角三角函数的定义得 从而 解三角形 2.4 由于角是直角，因此，于是上式变为 解三角形 2.4 （1） （1）式是直角三角形中边与角的一个关系式．锐角三角形与钝角三角形 中，边与角的关系如何？有没有类似于（1）式的关系式呢？ 探索 图2.4-2画了一个钝角三角形，其中角（即）是钝角．从点作，垂足为，把记作.由于和都是直角三角形， 解三角形 2.4 （2） 因此 由此得出 从而 从点作的垂线，与边的延长线交于点，把记作.由于与都是直角三角形，因此 由此得出 从而 解三角形 2.4 （4） （3） 从（2）式和（3）式得，在任意钝角三角形中，都有 当为锐角三角形时，也可同理求出（4）式．因此在任意三角形中，都有各边和它所对的角的正弦的比值相等．这个结论称为正弦定理． 从上述分析过程还可以得出的面积 解三角形 2.4 （5） 即 也就是，任意三角形的面积等于它的两条边长及其夹角的正弦的乘积的一半． 一个三角形有三条边和三个角，称为六个元素．只要知道了其中的三个元素（至少有一个元素是边），就可以求出其余的三个元素，这叫作解三角形．利用正弦定理解三角形，主要适用于以下两种情形： （1）已知两角与一边，求其余两边与第三个角； （2）己知两边与其中一边的对角，求其余两角与第三条边． 解三角形 2.4 • • • • • 1 在中，已知求 例 解 解三角形 2.4 2 在中，已知，求 例 解 解三角形 2.4 因为 所以或，它们都符合三角形内角的要求（图2.4-3）. 当时，，从而 当时，，从而 解三角形 2.4 综上所述，本题有两组解： （1） （2） 解三角形 2.4 探索 解直角三角形的依据之二是勾股定理．利用勾股定理，在钝角三角形或锐角三角形中能得到边与角之间什么样的关系式呢？ 解三角形 2.4 如图2.4-4所示，在钝角三角形中，角（即）是钝角．从点作边的垂线，垂足为，把记作,记作 在直角三角形CDB和ADC中，由勾股定理和锐角的余弦定义得 由此得出 解三角形 2.4 用类似的方法可得出 从点作的垂线，与边的延长线交于点，把记作记作.在直角三角形和中，有 （6） （7） （8） 对于锐角三角形同理可得出（6）、（7）、（8）式，因此，在任意三角形ABC中，都有 解三角形 2.4 即三角形任一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边长与它们夹角的余弦的乘积的两倍．这个结论称为余弦定理． 如果中角为直角，则从余弦定理得，.由此可见，勾股定理是余弦定理的特例． 利用余弦定理解三角形，主要适用于以下两种情形： （1）已知两边及其夹角，求第三条边以及其余两角； （2）已知三边，求角． （8） （9） （10） • • 3 在中，已知，求 例 解 解三角形 2.4 因此 由余弦定理得 用计算器可求出， 点评 例3中也可以用正弦定理求角: 由于因此从而是锐角． 用计算器求出 解三角形 2.4 4 在中，已知，求这个三角形的最大角. 例 解 解三角形 2.4 最大角是最长边所对的角.由余弦定理得 用计算器求出 2.5 三角计算的应用举例 1 解三角形在测量、航海、几何、物理等许多实际问题中都有广泛的应用，许多涉及图形计算的实际问题，往往能归结到解三角形的问题．下面举几个例子． 例 为了测量不能到达底部的铁塔的高，可以在地面上引一条基线，它和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，如图2.5-1所示，测得求（精确到0.1m）. 三角计算的应用举例 2.5 在中，用正弦定理得 在直角三角形中， 答：铁塔的高约为31. 1m. 三角计算的应用举例 2.5 解 2 如图2.5-2所示，一艘轮船在大海中航行到达处时，望见北偏东45°方向有一座灯塔，此时船和灯塔相距40海里，然后船沿北偏东30°的方向航行到达处，望见灯塔在船的正东方向，试问：处和灯塔相距多远（精确到0.1海里）？ 例 解 在中，根据正弦定理得 （海里）. 答：处和灯塔