难点冲刺02 利用空间向量解决最值范围-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

难点冲刺02利用空间向量解决最值范围 一、函数法 大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值 二、解不等式法 利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解 三、变量分析法 在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题 题型一 求数量积的最值范围 【例1】正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．0 【变式1-1】如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是_____． 【变式1-3】已知正方体的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型二 求体积的最值范围 【例3】（多选）如图，棱长均为2的平行六面体中，平面ABCD，，E，F分别是线段BD和线段上的动点，且满足，，则（    ） A．当时， B．当时，直线EF与直线所成角的大小为 C．当时，若，则 D．当时，三棱锥体积的最大值为 【例4】（多选）已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点处，在折起的过程中，下列结论正确的是（    ）    A． B．与不可能垂直 C．存在一个位置，使为等边三角形 D．若菱形的边长为，则四面体体积的最大值为 【变式2-1】如图1，是平行四边形，，如图2，把平行四边形沿对角线折起，则三棱锥体积的最大值为_____．若与成角，则的长为_____． 【变式2-2】已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是_____． 【变式2-3】正方体的棱长为2，底面内（含边界）的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为_____. 题型三 当体积取最值时，求其它量 【例5】如图，在直三棱柱中，，.    (1)求证：平面； (2)若，分别为棱，上的动点，且.当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【例6】如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径. (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式3-1】在四棱锥中，底面为矩形，点在平面内的投影落在棱上，． (1)求证：平面平面； (2)若，，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式3-2】如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. (1)求证：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3-3】如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 题型四 求夹角的最值范围 【例7】三棱柱中，已知，，点在底面的射影是线段的中点，点在侧棱上（点不与点重合）. (1)若，证明：平面 (2)点在何处时可使平面与平面所成的角最小？求出此时的值. 【例8】如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）    (1)求点到面的距离； (2)求四棱锥外接球的体积； (3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 【变式4-1】在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. (1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面. (2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 【变式4-2】如图，在三棱锥中，的中点为.    (1)证明：直线平面； (2)若，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥的体积. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，平面平面，，底面是边长为2的正方形，点在棱上，.    (1)证明：平面平面； (2)当直线DE与平面所成角最大时，求四棱锥的体积. 题型五 求距离的最值范围 【例9】（多选）已知正三棱柱的所在棱长均为2,P为棱上的动点,则下列结论中正确的是（    ） A．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 B．该正三棱柱外接球的表面积为 C．存在点P,使得 D．点P到直线的距离的最小值为 【例10】（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．不存在点，使得 B．存在点，使得