4.7相似三角形的性质 讲义 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

4.7相似三角形的性质北师大版九年级 考点16相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段， 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图：△ABC4'8C,则A2-BC=CA M ABIBCTCYA =k, AB+BC+CA 由比例性质可得： B+奶C+CA-k AB4+B'C+CA'A'B'+BC+CA' 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 知图，AABC∽△AB'C,则- AB BC =CA=名分别作出△4BC与△A'B'C CA 的高AD和A'D,则SC= 1BC.AD 2 .B'C'.k.AD' 2 N△rrc，B'C'·A'D 2BC.AD 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 例65如果两个相似三角形的对应高之比是1：2，那么它们的周长比是() A.1:2B.1:4C.1:√2D.2:1 变式1如果△ABC的三边长分别是3、4、5，与其相似的ADEF的最长边为15，那么△DEF的周长是， 例66已知△4BC∽A'B'C',它们的面积比为9：4，则对应角的角平分线的比等于， 变式1相似三角形对应高的比为4：3，那么它们的对应中线的比为 变式2相似三角形对应高的比为4：3，那么它们的对应中线的比为 变式3如图，△0AB∽△0CD,0A:0C=3:2,△0AB与△0CD的面积分别是Sr与S, 0 周长分别是C与C2,则下列说法正确的是() G-3 A.C 2 S-3 B. C.08=3 B S.2 CD 2 OA 3 0D-2 例67.如图，在aABC中，中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论： 、DEI BC2:② SACOB 2: AD OE SSODE=1. AB OB 3其中正确的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1如图，在△ABC和△DF中，AB=2DE,AC-2师，∠：∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为12√5，求△DF的边EF 上的高和面积， 变式2如图，在△ABC和aDEF中，G,H分别是边BC和EF的中点，己知AB=2DE,AC=2DF,LBAC=LEDF, (1)中线AG与DH的比是多少？ (2)△ABC与△DEF的面积比是多少？ D B G C E H 例68如图，在aABC中，点D,E分别在边AB和AC上，且DE∥BC, (1)若AD:DB=1:l,则S40E:St影D8CE等于多少？ D (2)若S。4DE=S边希DBCE,则DE:BC,AD:DB各等于多少？ 变式1.如图，已知E、F分别是△ABC中B、AC边上的点，EF∥BC,且A把：AB=3:5,那么 SAEr:S日边形EBcF为（） A.3:5B.3:25C.9:25D.9:16 例69如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC,DF∥AB. (1)求证：△DFC AED: 2)若CD=4C,求 DsC的值. 3 y E D B F 例0如图，已知在aABC中，∠C=90°，AB=10,cotB=),正方形DEFG的项点G、F分别在边AC、BC上，点D E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为一 G F D 变式1如图，有一块锐角三角形材料，边 C=60mm高AD=45mm要把它加工成矩形零件，使其一边在C上，其余两个 BC 顶点分别在ABAC,且EH=2E ,且 ,则这个矩形零件的长为() 36 40 72 80 A. B. C. D. E 变式2如图，在△ABC中，BC=8,高AD=6,点E,F分别在AB,AC上，点G,F在BC上，当四边形EFG附是矩形，且F=2E明 时，则矩形EFGH的周长为() 碧 289 A. B. C. D. 例71求证：相似三角形对应高的比等于相似比.（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明》 变式1如图，△ABC与4BC相似，ME是6ABC的高，A'D,BE是A8C的高，求证4D=BE A'D BE E C D c D