第四章 4．3.1 对数的概念-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#4．3.1　对数的概念 学业标准 素养目标 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质求值．(难点) 1.通过对数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助简单的对数运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1 对数的概念 　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？ 上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？ [提示]　N＝2x；能，x＝log2N. ◎结论形成 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N．另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N. 导学2 对数的性质及对数恒等式 　是不是所有的实数都有对数？为什么？ [提示]　零和负数没有对数，因为ax＝N(a>0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． 　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ [提示]　设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. 　根据对数的定义，你能推出对数恒等式＝N吗？ [提示]　因为ax＝N，x＝logaN，所以＝N. ◎结论形成 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数log39和log93的意义一样．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) (4)若ln N＝2，则N＝2e.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．ln 1＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．0 C．2 D．－1 答案　B 3．已知logx16＝2，则x＝(　　) A．4 B．±4 C．256 D．2 解析　∵logx16＝2，∴x2＝16，即x＝±4. 又x>0且x≠1，故x＝4，选A. 答案　A 4．＝________. 解析　 答案　8 　(1)若对数式log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B． C.∪(2，＋∞) D．[2,3] (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式． ①2－7＝；②32＝－5；③lg 1 000＝3； ④ln x＝2. (1)[解析]　依题意得 解得<x<2或x>2，故选C. [答案]　C (2)[解析]　①由2－7＝，可得log2＝－7. ②由32＝－5，可得－5＝32. ③由lg 1000＝3，可得103＝1000. ④由ln x＝2，可得e2＝x. [规律方法] 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [触类旁通] 1．将下列指数式与对数式进行互化． (1) (3)lg 0.001＝－3. 解析　(1)由可得log5＝－. (2)由4＝4，可得()4＝4. (3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001. 　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________． (2)求下列各式中x的值． ①log7(x＋2)＝2； ②logx27＝. (1)[解析]　由题意可知 解得2＜x＜4且x≠3. [答案]　(2,3)∪(3,4) (2)[解析]　①∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47. [解题策略] 利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值． [触类旁通] 2．求下列各式中的x值． (1)log2x＝；(2)log216＝x； (3)logx27＝3. 解析　(1) (2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4. (3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3. 　(1)求下列各式中x的值． (2)已知log5(log3(log2a))＝0，计算36log6a的值． [解析]　(1)①∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2， ∴x＝102＝100. ②由得＝9，解得x＝81. (2)因为log5(log3(log2a))＝0， 所以log3